British Mathematical Olympiad 2009 — Round 2

Find non-negative integer solutions to a radical sum equation

Find all solutions in non-negative integers $a$, $b$ to $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2009}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca soluzioni integrali non negative per un’equazione di somma radicale

Trova tutte le soluzioni in numeri interi non negativi $a$, $b$ a $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2009}$.

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Prove property of orthocentre on circumcircle of acute triangle

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with circumcircle $\omega$. Let the centre of $\omega$ be $O$ and the orthocentre be $H$. Prove that the centre of the circumcircle of triangle $BOH$ (where $B$ is a vertex) lies on the circle $\omega$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove proprietà dell’ortocentro sul circoncircolo di un triangolo acuto

Il $ABC$ deve essere un triangolo a angolo acuto con circoncircolo $\omega$. Il centro di $\omega$ è $O$ e l’ortocentro è $H$. Prova che il centro del circoncircolo del triangolo $BOH$ (dove $B$ è un vertice) si trova sul cerchio $\omega$.

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Find all real functions satisfying a given functional equation

Find all functions $f$ from the real numbers to the real numbers which satisfy $f(x^2)+f(y^2)=(x+y)(f(x)+f(y))$ for all real numbers $x$ and $y$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni reali che soddisfano una determinata equazione funzionale

Trova tutte le funzioni $f$ dai numeri reali ai numeri reali che soddisfano $f(x^2)+f(y^2)=(x+y)(f(x)+f(y))$ per tutti i numeri reali $x$ e $y$.

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Show s(n) ≤ 2b for n ≤ 2500 and find equality cases

Given a positive integer $n$, let $s(n)$ denote the number of positive integers which appear as blocks of consecutive digits in the binary representation of $n$. For example, $s(13)=6$ because $13=1101_2$, which contains as consecutive blocks the binary representations of $13=1101_2$, $6=110_2$, $5=101_2$, $3=11_2$, $2=10_2$, and $1=1_2$.

Show that if $n\le 2500$, then $s(n)\le 2b$, where $b$ is the number of bits in the binary representation of $n$, and find the values of $n$ for which equality holds.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra s(n) ≤ 2b per n ≤ 2500 e trova casi di uguaglianza

Data una cifra integrale positiva $n$, $s(n)$ indica il numero di numeri integrali positivi che appaiono come blocchi di cifre consecutive nella rappresentazione binaria di $n$. Ad esempio, $s(13)=6$ perché $13=1101_2$, che contiene come blocchi consecutivi le rappresentazioni binarie di $13=1101_2$, $6=110_2$, $5=101_2$, $3=11_2$, $2=10_2$ e $1=1_2$.

Mostrare che se $n\le 2500$, allora $s(n)\le 2b$, dove $b$ è il numero di bit nella rappresentazione binaria di $n$, e trovare i valori di $n$ per i quali l’uguaglianza è valida.

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