British Mathematical Olympiad 2010 — Round 2

Each of 2010^2010 camp children has at most three friends; decide whether the children can always be listed so that any pair of friends has at most 2010 children between them.

There are $2010^{2010}$ children at a mathematics camp. Each has at most three friends at the camp, and if $A$ is friends with $B$, then $B$ is friends with $A$. The camp leader would like to line the children up so that there are at most $2010$ children between any pair of friends. Is it always possible to do this?

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ogni bambino del campo 2010^2010 ha almeno tre amici; decidete se i bambini possono sempre essere elencati in modo che ogni coppia di amici abbia almeno 2010 bambini tra loro.

Ci sono bambini in un campo di matematica. Ciascuno ha al massimo tre amici nel campo, e se $A$ è amico di $B$, allora $B$ è amico di $A$. Il capo del campo vorrebbe mettere in fila i bambini in modo che ci siano al massimo $2010$ bambini tra ogni coppia di amici. E’ sempre possibile farlo?

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In triangle ABC with centroid G and D the midpoint of CA, the line through G parallel to BC meets AB at E; prove angle AEC = angle DGC iff angle ACB = 90 degrees.

In triangle $ABC$ the centroid is $G$ and $D$ is the midpoint of $CA$. The line through $G$ parallel to $BC$ meets $AB$ at $E$. Prove that $\angle AEC=\angle DGC$ if, and only if, $\angle ACB=90^{\circ }$. (The centroid of a triangle is the intersection of the three medians, the lines which join each vertex to the midpoint of the opposite side.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo ABC con centroide G e D il punto medio di CA, la linea attraverso G parallela a BC incontra AB a E; prova angolo AEC = angolo DGC se angolo ACB = 90 gradi.

Nel triangolo $ABC$ il centroide è $G$ e $D$ è il punto medio di $CA$. La linea attraverso $G$ parallela a $BC$ incontra $AB$ a $E$. Prove che $\angle AEC=\angle DGC$ se, e solo se, $\angle ACB=90^{\circ }$. (Il centroide di un triangolo è l’intersezione dei tre mediani, le linee che uniscono ogni vertice al punto medio del lato opposto.)

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With integer x >= 3 and n = x^6 - 1, p prime and k a positive integer with p^k dividing n, show p^{3k} < 8n.

The integer $x$ is at least $3$ and $n=x^6-1$. Let $p$ be a prime and $k$ be a positive integer such that $p^k$ is a factor of $n$. Show that $p^{3k}<8n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Con un intero x >= 3 e n = x^6 - 1, p primo e k un intero positivo con p^k dividendo n, mostrare p^{3k} < 8n.

Il numero intero $x$ è almeno $3$ e $n=x^6-1$. Che $p$ sia un primo e $k$ un intero positivo tale che $p^k$ sia un fattore di $n$. Mostra che $p^{3k}<8n$.

src_bmo2_2010__Q03

Prove the cyclic inequality 4(x+y+z)^3 > 27(x^2 y + y^2 z + z^2 x) for all positive reals x, y, z.

Prove that, for all positive real numbers $x$, $y$ and $z$, $4(x+y+z{)}^3>27(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza ciclica 4(x+y+z) ^3 > 27(x^2 y + y^2 z + z^2 x) per tutti i reali positivi x, y, z.

Prova che, per tutti i numeri reali positivi $x$, $y$ e $z$, $4(x+y+z{)}^3>27(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x).$

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