British Mathematical Olympiad 2011 — Round 2

Lines through interior point give concyclic points on circle chords

Let $ABC$ be a triangle and $X$ be a point inside the triangle. The lines $AX$, $BX$ and $CX$ meet the circle $ABC$ again at $P$, $Q$ and $R$ respectively. Choose a point $U$ on $XP$ between $X$ and $P$. Suppose that the lines through $U$ which are parallel to $AB$ and $CA$ meet $XQ$ and $XR$ at points $V$ and $W$ respectively. Prove that $R$, $V$, $W$ and $Q$ lie on a circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le linee attraverso il punto interno danno punti conciclici su accordi circolari

Che $ABC$ sia un triangolo e $X$ un punto all’interno del triangolo. Le linee $AX$, $BX$ e $CX$ incontrano di nuovo il cerchio $ABC$ rispettivamente a $P$, $Q$ e $R$. Selezionare un punto $U$ su $XP$ tra $X$ e $P$. Supponiamo che le linee attraverso $U$ parallele a $AB$ e $CA$ incontrino $XQ$ e $XR$ rispettivamente nei punti $V$ e $W$. Provare che $R$, $V$, $W$ e $Q$ si trovano su un cerchio.

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Find all positive integers x,y with two divisibility conditions

Find all positive integers $x$ and $y$ such that $x+y+1$ divides $2xy$ and $x+y-1$ divides $2xy-1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi x,y con due condizioni di divisibilità

Trova tutti gli integri positivi $x$ e $y$ in modo tale che $x+y+1$ divida $2xy$ e $x+y-1$ divida $2xy-1$.

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Count positive integers below 2011 sharing f-value with 2011

The function $f$ is defined on the positive integers as follows: $f(1)=1,$ $f(2n)=2f(n)\text{ if }n\text{ is even},$ $f(2n)=2f(n)\text{ if }n\text{ is odd},$ $f(2n+1)=2f(n)\text{ if }n\text{ is even},$ $f(2n+1)=2f(n)+1\text{ if }n\text{ is odd}.$ Find the number of positive integers $v$ which are less than $2011$ and have the property that $f(v)=f(2011)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi al di sotto del 2011 condividendo il valore f con il 2011

La funzione $f$ è definita sui numeri interi positivi come segue: $f(1)=1,$ $f(2n)=2f(n)\text{ if }n\text{ is even},$ $f(2n)=2f(n)\text{ if }n\text{ is odd},$ $f(2n+1)=2f(n)\text{ if }n\text{ is even},$ $f(2n+1)=2f(n)+1\text{ if }n\text{ is odd}.$ Trova il numero di numeri interi positivi $v$ che sono inferiori a $2011$ e hanno la proprietà di $f(v)=f(2011)$.

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Largest parallelogram-free subset of integer grid

Let $G$ be the set of points $(x,y)$ in the plane such that $x$ and $y$ are integers in the range $1\le x,y\le 2011$. A subset $S$ of $G$ is said to be parallelogram-free if there is no proper parallelogram all of whose vertices are in $S$. Note that a proper parallelogram is one where no vertex lies on the same line. Find the largest possible size of a parallelogram-free subset of $G$.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Il più grande sottoinsieme senza parallelo della griglia di numeri interi

Il $G$ deve essere l’insieme dei punti $(x,y)$ nel piano in modo tale che $x$ e $y$ siano integri nell’intervallo $1\le x,y\le 2011$. Un sottogruppo $S$ di $G$ è considerato privo di parallelogrammi se non esiste un parallelo corretto il cui vertice sono tutti in $S$. Si noti che un parallelo corretto è quello in cui nessun vertice si trova sulla stessa linea. Trova la dimensione più grande possibile di un sottoinsieme senza parallelogrammi di $G$.

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