British Mathematical Olympiad 2012 — Round 2

Cyclic quadrilateral with diagonals meeting at E; midpoints of the four sides; prove the circles EPS and EQR have equal radius.

The diagonals $AC$ and $BD$ of a cyclic quadrilateral meet at $E$. The midpoints of the sides $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ are $P$, $Q$, $R$ and $S$ respectively. Prove that the circles $EPS$ and $EQR$ have the same radius.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero ciclico con diagonali che si incontrano a E; punti di mezzo dei quattro lati; dimostrare che i cerchi EPS e EQR hanno uguale raggio.

Le diagonali $AC$ e $BD$ di un quadrilaterale ciclico si incontrano a $E$. I punti intermedi dei lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ sono rispettivamente $P$, $Q$, $R$ e $S$. Prova che i cerchi $EPS$ e $EQR$ hanno lo stesso raggio.

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Recursively defined function on positive integers using floors of (2n-1)/3 and 2n/3; decide whether f(n)-f(n-1) <= n for all n>1.

A function $f$ is defined on the positive integers by $f(1)=1$ and, for $n>1$, $f(n)=f\left(\lfloor \frac{2n-1}{3}\rfloor \right)+f\left(\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor \right)$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$. Is it true that $f(n)-f(n-1)\le n$ for all $n>1$?

[Here are some examples of the use of $\lfloor x\rfloor$: $\lfloor \pi \rfloor =3$, $\lfloor 1729\rfloor =1729$ and $\lfloor \frac{2012}{1000}\rfloor =2$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione definita ricorrentemente su integri positivi utilizzando piani di (2n-1)/3 e 2n/3; decidere se f(n)-f(n-1) <= n per tutti i n>1.

Una funzione $f$ è definita sui numeri interi positivi da $f(1)=1$ e, per $n>1$, da $f(n)=f\left(\lfloor \frac{2n-1}{3}\rfloor \right)+f\left(\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor \right)$ dove $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. È vero che $f(n)-f(n-1)\le n$ per tutti $n>1$?

[Questi sono alcuni esempi di utilizzo di $\lfloor x\rfloor$: $\lfloor \pi \rfloor =3$, $\lfloor 1729\rfloor =1729$ e $\lfloor \frac{2012}{1000}\rfloor =2$.]

src_bmo2_2012__Q02

The reals are partitioned into two disjoint subsets; prove that for every pair (m,n) of positive integers there exist x<y<z in the same subset with m(z-y)=n(y-x).

The set of real numbers is split into two subsets which do not intersect. Prove that for each pair $(m,n)$ of positive integers, there are real numbers $x<y<z$ all in the same subset such that $m(z-y)=n(y-x)$.

Topic: Insiemi e funzioni, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I reali sono divisi in due sottosette disjointe; dimostrare che per ogni coppia (m,n) di integri positivi esiste x<y<z nello stesso sottosetto con m(z-y) =n(y-x).

L’insieme dei numeri reali è diviso in due sottinsiemi che non si intersecano. Prove che per ogni coppia $(m,n)$ di integri positivi, ci sono numeri reali $x<y<z$ tutti nello stesso sottoinsieme in modo tale che $m(z-y)=n(y-x)$.

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Show there is a positive integer k such that if m divides a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n for all n in [1,k], then m divides it for all positive integers n.

Show that there is a positive integer $k$ with the following property: if $a,b,c,d,e$ and $f$ are integers and $m$ is a divisor of $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$ for all integers $n$ in the range $1\le n\le k$, then $m$ is a divisor of $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$ for all positive integers $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra che c’è un intero positivo k tale che se m divide a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n per tutti n in [1,k], allora m lo divide per tutti gli interi positivi n.

Mostrare che esiste un intero positivo $k$ con la seguente proprietà: se $a,b,c,d,e$ e $f$ sono interi e $m$ è un divisore di $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$ per tutti gli interi $n$ nell’intervallo $1\le n\le k$, allora $m$ è un divisore di $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$ per tutti gli interi positivi $n$.

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