British Mathematical Olympiad 2013 — Round 2

Infinitely many pairs with mutual divisibility of m,n

Are there infinitely many pairs of positive integers $(m,n)$ such that both $m$ divides $n^2+1$ and $n$ divides $m^2+1$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Infinitamente molte coppie con divisibilità reciproca di m,n

Ci sono infinite coppie di integri positivi $(m,n)$ in modo tale che entrambi $m$ dividono $n^2+1$ e $n$ dividono $m^2+1$?

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Angle equality in triangle with interior point and parallelogram

The point $P$ lies inside triangle $ABC$ such that $\angle ABP=\angle PCA$. The point $Q$ is such that $PBQC$ is a parallelogram. Prove that $\angle QAB=\angle CAP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Equità d’angolo in triangolo con punto interno e parallelo

Il punto $P$ si trova all’interno del triangolo $ABC$ in modo tale che $\angle ABP=\angle PCA$. Il punto $Q$ è tale che $PBQC$ sia un parallelo. Prove che $\angle QAB=\angle CAP$.

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Binary integers with exactly 2013 digits: sum plus count has more 1s

Consider the set of positive integers which, when written in binary, have exactly 2013 digits and more 0s than 1s. Let $s$ be the number of such integers and let $n$ be their sum. Prove that, when written in binary, $n+s$ has more 1s than 0s.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Doppio conteggio, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Interi binari con cifre esatte del 2013: la somma più il numero ha più 1s

Considerate l’insieme di numeri interi positivi che, quando sono scritti in binario, hanno esattamente 2013 cifre e più 0 che 1s. $s$ sia il numero di tali integri e $n$ sia la loro somma. Prova che, quando scritto in binario, $n+s$ ha più 1s che 0s.

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Square circumcircle point: can PA,PB,PC,PD,AB all be integers?

Suppose that $ABCD$ is a square and that $P$ is a point which is on the circumcircle. Determine whether or not it is possible that $PA$, $PB$, $PC$, $PD$ and $AB$ are all integers.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Punto di circoncircolo quadrato: PA, PB, PC, PD, AB possono essere tutti numeri interi?

Supponiamo che $ABCD$ sia un quadrato e che $P$ sia un punto che si trova sul circolo. Determinare se è possibile che $PA$, $PB$, $PC$, $PD$ e $AB$ siano tutti numeri interi.

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