British Mathematical Olympiad 2014 — Round 2

Minimum colours for diagonals of 2014-gon crossing rule

Every diagonal of a regular polygon with $2014$ sides is coloured in one of $n$ colours. Whenever two diagonals cross in the interior they are of different colours. What is the minimum value of $n$ for which this is possible?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colori minimi per le diagonali della regola di incrocio dei goni 2014

Ogni diagonale di un poligono regolare con lati $2014$ è colorata in uno dei colori $n$. Ogni volta che due diagonali si incrociano all’interno sono di colori diversi. Qual è il valore minimo di $n$ per il quale questo è possibile?

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No cuboid has equal volume, surface area and perimeter

Prove that it is impossible to have a cuboid for which the volume, the surface area and the perimeter are numerically equal. The perimeter of a cuboid is the sum of the lengths of all its twelve edges.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nessun cuboide ha volume, superficie e perimetro uguali

Prove che è impossibile avere un cuboide per il quale il volume, la superficie e il perimetro sono numericamente uguali. Il perimetro di un cuboide è la somma delle lunghezze di tutti i suoi dodici bordi.

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Sequence s_n = s_{n-1} - 1/s_{n-1}: primes dividing terms

Let $s_0=4$ and define a sequence of terms using the formula $s_n=s_{n-1}-\frac{1}{s_{n-1}}$ for each positive integer $n$.

a) Prove that there are infinitely many prime numbers which are factors of at least one term in the sequence;

b) Are there infinitely many prime numbers which are factors of no term in the sequence?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza s_n = s_{n-1} - 1/s_{n-1}: numeri primi che dividono i termini

$s_0=4$ e definire una sequenza di termini utilizzando la formula $s_n=s_{n-1}-\frac{1}{s_{n-1}}$ per ogni intero positivo $n$.

a) dimostrare che ci sono infiniti numeri primi che sono fattori di almeno un termine nella sequenza;

b) Ci sono infinitamente molti numeri primi che sono fattori senza termine nella sequenza?

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Circumcircles of cevian triangles and concurrent lines

Let $ABC$ be a triangle and $P$ be a point in its interior. Let $AP$ meet the circumcircle of $ABC$ again at $A^{\prime }$. The points $B^{\prime }$ and $C^{\prime }$ are similarly defined. Let $O_A$ be the circumcentre of $BP{C}^{\prime }$, and $O_B$, $O_C$ are similarly defined. Let $O_A^{\prime }$ be the circumcentre of $B^{\prime }P{C}^{\prime }$, and $O_B^{\prime }$, $O_C^{\prime }$ are similarly defined. Prove that the lines $O_A{O}_A^{\prime }$, $O_B{O}_B^{\prime }$, $O_C{O}_C^{\prime }$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli di triangoli e linee concomitanti

Che $ABC$ sia un triangolo e $P$ un punto nel suo interno. Lasciate che $AP$ rientri nel circoncircolo di $ABC$ a $A^{\prime }$. I punti $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$ sono definiti in modo simile. Se $O_A$ è il circoncentro di $BP{C}^{\prime }$, e $O_B$, $O_C$ sono definiti in modo simile. Se $O_A^{\prime }$ è il circoncentro di $B^{\prime }P{C}^{\prime }$, e $O_B^{\prime }$, $O_C^{\prime }$ sono definiti in modo simile. Prove che le linee $O_A{O}_A^{\prime }$, $O_B{O}_B^{\prime }$, $O_C{O}_C^{\prime }$ sono simultanee.

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