British Mathematical Olympiad 2015 — Round 2

Find the 2015th term of a sequence defined by a square-root iterative formula starting at 2014.

The first term $x_1$ of a sequence is $2014$. Each subsequent term of the sequence is defined in terms of the previous term. The iterative formula is $x_{n+1}=\frac{(\sqrt{2}+1)x_n-1}{(\sqrt{2}+1)+x_n}.$ Find the $2015$th term $x_{2015}$.

Topic: Algebra, Trigonometria Metodo: Ricorsione, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Trova il termine 2015 di una sequenza definita da una formula iterativa a radice quadrata a partire dal 2014.

Il primo termine $x_1$ di una sequenza è $2014$. Ogni termine successivo della sequenza è definito in termini di termine precedente. La formula iterativa è $x_{n+1}=\frac{(\sqrt{2}+1)x_n-1}{(\sqrt{2}+1)+x_n}.$ Trova il $2015$th termine $x_{2015}$.

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Prove the equivalence of two parity statements about forming a school council with one pupil per class.

In Oddesdon Primary School there are an odd number of classes. Each class contains an odd number of pupils. One pupil from each class will be chosen to form the school council. Prove that the following two statements are logically equivalent.

a) There are more ways to form a school council which includes an odd number of boys than ways to form a school council which includes an odd number of girls.

b) There are an odd number of classes which contain more boys than girls.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove l’equivalenza di due dichiarazioni di parità sulla formazione di un consiglio scolastico con un allievo per classe.

Nella scuola primaria di Oddesdon ci sono un numero strano di lezioni. Ogni classe contiene un numero impar di allievi. Un allievo da ogni classe sarà scelto per formare il consiglio scolastico. Prove che le seguenti due affermazioni sono logicamente equivalenti.

a) Esistono più modi per formare un consiglio scolastico che comprende un numero impar di ragazzi che di formare un consiglio scolastico che comprende un numero impar di ragazze.

b) Esistono un numero strano di classi che contengono più ragazzi che ragazze.

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Two internally tangent circles; a variable chord of the outer circle tangent to the inner. Prove the locus of the incentre of triangle AQP is a circle tangent to both at A.

Two circles touch one another internally at $A$. A variable chord $PQ$ of the outer circle touches the inner circle. Prove that the locus of the incentre of triangle $AQP$ is another circle touching the given circles at $A$. The incentre of a triangle is the centre of the unique circle which is inside the triangle and touches all three sides. A locus is the collection of all points which satisfy a given condition.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi interamente tangenti; un accordo variabile del cerchio esterno tangente all’interno. Prova che il locus dell’incentro del triangolo AQP è un cerchio tangente a entrambi a A.

Due cerchi si toccano internamente a $A$. Un accordo variabile $PQ$ del cerchio esterno tocca il cerchio interno. Prove che il locus dell’incentro del triangolo $AQP$ è un altro cerchio che tocca i circoli dati a $A$. L’incentro di un triangolo è il centro del cerchio unico che si trova all’interno del triangolo e tocca tutti e tre i lati. Un locus è la raccolta di tutti i punti che soddisfano una determinata condizione.

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Lattice points where P sees Q if segment PQ contains no other lattice point; define an n-loop and ask whether a 100-loop exists.

Given two points $P$ and $Q$ with integer coordinates, we say that $P$ sees $Q$ if the line segment $PQ$ contains no other points with integer coordinates. An $n$-loop is a sequence of $n$ points $P_1,P_2,\dots ,P_n$, each with integer coordinates, such that the following conditions hold:

a) $P_i$ sees $P_{i+1}$ for $1\le i\le n-1$, and $P_n$ sees $P_1$;

b) No $P_i$ sees any $P_j$ apart from those mentioned in (a);

c) No three of the points lie on the same straight line.

Does there exist a $100$-loop?

Topic: Combinatoria, Geometria analitica, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Casework, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Lattice punti in cui P vede Q se PQ segmento non contiene nessun altro punto reticolo; definire un n-loop e chiedere se esiste un 100-loop.

Dati due punti $P$ e $Q$ con coordinate interi, diciamo che $P$ vede $Q$ se il segmento di linea $PQ$ non contiene altri punti con coordinate interi. Un ciclo $n$ è una sequenza di punti $n$ $P_1,P_2,\dots ,P_n$, ciascuno con coordinate di numeri interi, in modo tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

a) $P_i$ vede $P_{i+1}$ per $1\le i\le n-1$ e $P_n$ $P_1$;

b) Non $P_i$ comprende $P_j$ tranne quelli di cui alla lettera a);

c) Non tre dei punti si trovano sulla stessa linea retta.

Esiste un ciclo $100$?

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