British Mathematical Olympiad 2016 — Round 2

Three mutually tangent circles and common tangent, prove perimeter inequality

Circles of radii $r_1$, $r_2$ and $r_3$ touch each other externally, and they touch a common tangent line at points $A$, $B$ and $C$ respectively, where $B$ lies between $A$ and $C$. Prove that $16(r_1+r_2+r_3)\ge 9(AB+BC+CA)$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre cerchi reciprocamente tangenti e tangente comune, dimostrano la disuguaglianza del perimetro

Circoli di raggio $r_1$, $r_2$ e $r_3$ si toccano a livello esterno e toccano una linea tangente comune rispettivamente nei punti $A$, $B$ e $C$, dove $B$ si trova tra $A$ e $C$. Prove che $16(r_1+r_2+r_3)\ge 9(AB+BC+CA)$.

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Alison and Benjamin token-ranking game, find largest N

Alison has $N$ lucky tokens, labelled $1$ to $N$. She thinks they are good, but refuses to share them. Benjamin may mention a team of three tokens to her; she will then choose either to tell him which she thinks is the weakest token of the three, or which she thinks is the strongest token of the three. Benjamin uses this information as many times as he likes. Determine the largest $N$ such that Benjamin can guarantee to be able to find a sequence $T_1,T_2,\dots ,T_N$ of tokens with the property that he knows that Alison thinks that $T_i$ is better than $T_{i+1}$ for each $1\le i<N$.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Induzione, Estremalità Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di classificazione dei token di Alison e Benjamin, trovare il più grande N*

Alison ha i token di fortuna $N$, etichettati $1$ a $N$. Lei pensa che siano buone, ma rifiuta di condividerle. Benjamin può menzionare una squadra di tre segni per lei; lei sceglierà quindi di dirgli quale pensa sia il segno più debole dei tre, o quale pensa sia il segno più forte dei tre. Benjamin usa queste informazioni quante volte vuole. Determinare il più grande $N$ in modo che Benjamin possa garantire di essere in grado di trovare una sequenza $T_1,T_2,\dots ,T_N$ di token con la proprietà che sa che Alison pensa che $T_i$ è migliore di $T_{i+1}$ per ogni $1\le i<N$.

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Cyclic quadrilateral, perpendicularity of PQ and AB implies PE perpendicular to BC

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral. The diagonals $AC$ and $BD$ meet at $Q$, and $DA$ and $CB$ produced meet at $P$. The midpoint of $AB$ is $E$. If $AB$ is perpendicular to $PQ$, prove that $PE$ is perpendicular to $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico, perpendicularità di PQ e AB implica PE perpendicolare a BC

Che il $ABCD$ sia un quadrilaterale ciclico. Le diagonali $AC$ e $BD$ si incontrano a $Q$, e le $DA$ e $CB$ prodotte si incontrano a $P$. Il punto medio di $AB$ è $E$. Se $AB$ è perpendicolare a $PQ$, dimostrare che $PE$ è perpendicolare a $BC$.

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Prime p and integers a,b with p^2 mean of a^2 and b^2, prove 2p-a-b is square or double square

Suppose that $p$ is a prime and that $a$ and $b$ are positive integers such that $p^2$ is the mean of $a^2$ and $b^2$. Prove that $2p-a-b$ is a perfect square or twice a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prima p e interi a,b con media p^2 di a^2 e b^2, dimostrare che 2p-a-b è quadrato o quadrato doppio

Supponiamo che $p$ sia un primo e che $a$ e $b$ siano integri positivi in modo tale che $p^2$ sia la media di $a^2$ e $b^2$. Prova che $2p-a-b$ è un quadrato perfetto o due volte un quadrato perfetto.

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