British Mathematical Olympiad 2017 — Round 2

Count integers n<2017 for which a right-angled isosceles triangle with integer-coordinate vertices has exactly n lattice points on its perimeter.

This problem concerns triangles which have vertices with integer coordinates in the usual $x,y$-coordinate plane. For how many positive integers $n<2017$ is it possible to draw a right-angled isosceles triangle such that exactly $n$ points on its perimeter, including all three of its vertices, have integer coordinates?

Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri interi n<2017 per i quali un triangolo isosceles rettangolare con vertici di coordinate interi ha esattamente n punti reticolari sul suo perimetro.

Questo problema riguarda i triangoli che hanno vertici con coordinate interi nel solito piano di coordinate $x,y$. Per quanti numeri interi positivi $n<2017$ è possibile disegnare un triangolo a rettangolo di isosceles in modo tale che esattamente $n$ punti sul suo perimetro, compresi tutti e tre i suoi vertici, abbiano coordinate interi?

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For the sequence a_n equal to the average over k=1..n of floor(n/k), prove a_{n+1}>a_n infinitely often and decide whether a_{n+1}<a_n infinitely often.

Let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to the real number $x$. Consider the sequence $a_1,a_2,\dots$ defined by $a_n=\frac{1}{n}\left(\lfloor \frac{n}{1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{n}{n}\rfloor \right)$ for integers $n\ge 1$. Prove that $a_{n+1}>a_n$ for infinitely many $n$, and determine whether $a_{n+1}<a_n$ for infinitely many $n$.

[Here are some examples of the use of $\lfloor x\rfloor$: $\lfloor \pi \rfloor =3$, $\lfloor 1729\rfloor =1729$ and $\lfloor \frac{2017}{1000}\rfloor =2$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per la sequenza a_n uguale alla media su k=1..n del piano(n/k), provare a_{n+1}>a_n infinitamente spesso e decidere se a_{n+1}<a_n infinitamente spesso.

$\lfloor x\rfloor$ indichi il numero intero più grande inferiore o uguale al numero reale $x$. Considerare la sequenza $a_1,a_2,\dots$ definita da $a_n=\frac{1}{n}\left(\lfloor \frac{n}{1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{n}{n}\rfloor \right)$ per gli integri $n\ge 1$. Prova che $a_{n+1}>a_n$ per infinite $n$, e determina se $a_{n+1}<a_n$ per infinite $n$.

[Questi sono alcuni esempi di utilizzo di $\lfloor x\rfloor$: $\lfloor \pi \rfloor =3$, $\lfloor 1729\rfloor =1729$ e $\lfloor \frac{2017}{1000}\rfloor =2$.]

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In cyclic quadrilateral ABCD with diagonals meeting at P and rays AD, BC meeting at Q, the bisector of angle BQA meets AC at R and the bisector of angle APD meets AD at S; prove RS parallel to CD.

Consider a cyclic quadrilateral $ABCD$. The diagonals $AC$ and $BD$ meet at $P$, and the rays $AD$ and $BC$ meet at $Q$. The internal angle bisector of angle $\angle BQA$ meets $AC$ at $R$ and the internal angle bisector of angle $\angle APD$ meets $AD$ at $S$. Prove that $RS$ is parallel to $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

In ABCD quadrilaterale ciclico con diagonali che si incontrano a P e raggi AD, BC che si incontrano a Q, il bisettore dell’angolo BQA incontra AC a R e il bisettore dell’angolo APD incontra AD a S; dimostrare RS parallelo a CD.

Considerate un quadrilaterale ciclico $ABCD$. Le diagonali $AC$ e $BD$ si incontrano a $P$, e i raggi $AD$ e $BC$ si incontrano a $Q$. Il bisettore di angolo interno $\angle BQA$ incontra $AC$ a $R$ e il bisettore di angolo interno $\angle APD$ incontra $AD$ a $S$. Provare che $RS$ è parallelo a $CD$.

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A safe needs a 3-digit code; a probe replies Fail if no digit is correct, otherwise Close (including when all are correct); find the smallest number of attempts in an optimal strategy guaranteeing the code is known.

Bobby’s booby-trapped safe requires a 3-digit code to unlock it. Alex has a probe which can test combinations without typing them on the safe. The probe responds $\text{Fail}$ if no individual digit is correct. Otherwise it responds $\text{Close}$, including when all digits are correct. For example, if the correct code is 014, then the responses to 099 and 014 are both Close, but the response to 140 is Fail. If Alex is following an optimal strategy, what is the smallest number of attempts needed to guarantee that he knows the correct code, whatever it is?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Una cassaforte ha bisogno di un codice a 3 cifre; una sonda risponde Fallo se nessuna cifra è corretta, altrimenti Chiudi (anche quando tutte sono corrette); trova il minor numero di tentativi in una strategia ottimale che garantisca che il codice sia conosciuto.

La cassaforte incastrata di Bobby richiede un codice a 3 cifre per sbloccarla. Alex ha una sonda che puo’ testare le combinazioni senza scriverle sulla cassaforte. La sonda risponde $\text{Fail}$ se nessuna cifra individuale è corretta. Altrimenti risponde $\text{Close}$, anche quando tutti i numeri sono corretti. Ad esempio, se il codice corretto è 014, allora le risposte a 099 e 014 sono entrambe Close, ma la risposta a 140 è Fail. Se Alex sta seguendo una strategia ottimale, qual è il minor numero di tentativi necessari per garantire che conosca il codice corretto, qualunque sia?

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