British Mathematical Olympiad 2018 — Round 2

Circle tangent to BC through M meets AB; prove AB = BP = 2BM

Consider triangle $ABC$. The midpoint of $AC$ is $M$. The circle tangent to $BC$ at $B$ and passing through $M$ meets the line $AB$ again at $P$. Prove that $AB=BP=2BM$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo tangente a BC attraverso M incontra AB; dimostra AB = BP = 2BM

Considera il triangolo $ABC$. Il punto medio di $AC$ è $M$. Il cerchio tangente a $BC$ a $B$ e che attraversa $M$ incontra di nuovo la linea $AB$ a $P$. Prove che $AB=BP=2BM$.

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Circular table cakes; find n so Mad Hatter can force Alice to eat all

There are $n$ places set around a circular table, and every place has a small cake on a plate. Alice arrives first, sits at the table, and eats her cake (but it isn’t very nice). Next the Mad Hatter arrives, and tells Alice that it is certainly a lovely tea party, and that she must keep on changing her seat, and each time she must eat the cake in front of her (if it hasn’t yet been eaten). In fact the Mad Hatter is very bossy, and tells Alice that, for $i=1,2,\dots ,n-1$, when she moves for the $i$-th time, she must move $a_i$ places and he hands Alice the list of instructions $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$. Alice does not like the cakes, and she is free to choose the direction to move, whether clockwise or anticlockwise. For which values of $n$ can the Mad Hatter force Alice to eat all the cakes?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le torte da tavolo circolare; trova n in modo che il Cappellone Pazzo possa costringere Alice a mangiare tutto

Ci sono posti $n$ disposti attorno a un tavolo circolare, e ogni posto ha una piccola torta su un piatto. Alice arriva prima, si siede al tavolo e mangia la sua torta (ma non è molto bella). Successivamente arriva il Cappellaio Pazzo, e dice ad Alice che è sicuramente una bella festa del tè, e che deve continuare a cambiare il suo posto, e ogni volta deve mangiare la torta di fronte a lei (se non è stato ancora mangiato). Infatti il Cappellaio Pazzo è molto boss, e dice ad Alice che, per $i=1,2,\dots ,n-1$, quando si muove per la $i$-time, deve spostare $a_i$ posti e lui consegna ad Alice la lista di istruzioni $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$. A Alice non piacciono le torte, e lei è libera di scegliere la direzione in cui muoversi, sia in senso orario che in senso antiorario. Per quali valori di $n$ il Cappellaio Pazzo può costringere Alice a mangiare tutte le torte?

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Prove sum of squares from m+1 to 2m is never a perfect square

It is well known that, for each positive integer $n$, $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ and so is a square. Prove that there is not a positive integer $m$ such that $(m+1{)}^2+(m+2{)}^2+\cdots +(2m{)}^2$ is a square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la somma dei quadrati da m+1 a 2m non è mai un quadrato perfetto

È noto che, per ogni intero positivo $n$, $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ e così è un quadrato. Prova che non esiste un intero positivo $m$ tale che $(m+1{)}^2+(m+2{)}^2+\cdots +(2m{)}^2$ sia quadrato.

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Absorbing functions with f^2018 integer; existence questions on integer values

Let $f$ be a function defined on the real numbers and taking real values. We say that $f$ is absorbing if $f(x)\le f(y)$ whenever $x\le y$ and $f^{2018}(z)$ is an integer for all real numbers $z$.

a) Does there exist an absorbing function $f$ such that $f(x)$ is an integer for only finitely many values of $x$?

b) Does there exist an absorbing function $f$ such that $f(x)$ is an integer only if $x=n_i$ for some $i$?

Note that if $k$ is a positive integer and $f$ is a function, then $f^k$ denotes the composition of $k$ copies of $f$. For example $f^2(t)=f(f(t))$ for all real numbers $t$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Casework, Backward Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Assorbimento di funzioni con f^2018 interi; domande di esistenza sui valori interi

Lasciate che $f$ sia una funzione definita sui numeri reali e assumendo valori reali. Diciamo che $f$ assorbe se $f(x)\le f(y)$ ogni volta che $x\le y$ e $f^{2018}(z)$ è un intero per tutti i numeri reali $z$.

a) Esiste una funzione di assorbimento $f$ tale che $f(x)$ sia un numero intero per solo numerosi valori finiti di $x$?

b) Esiste una funzione di assorbimento $f$ tale che $f(x)$ sia un numero intero solo se $x=n_i$ per alcuni $i$?

Si noti che se $k$ è un intero positivo e $f$ è una funzione, $f^k$ indica la composizione delle copie $k$ di $f$. Ad esempio $f^2(t)=f(f(t))$ per tutti i numeri reali $t$.

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