British Mathematical Olympiad 2019 — Round 2

Perpendicular bisector geometry, prove triangle BPE isosceles

Let $ABC$ be a triangle. Let $L$ be the line through $B$ perpendicular to $AB$. The perpendicular bisector of $AC$ meets $L$ at the point $D$. The perpendicular bisector of $BC$ meets $L$ at the point $P$. Let $E$ be the foot of the perpendicular from $D$ to $AC$.

Prove that triangle $BPE$ is isosceles.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Geometria perpendicolare bisettore, prova triangolo BPE isosceles

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Si deve $L$ essere la linea attraverso $B$ perpendicolare a $AB$. Il bisettore perpendicolare di $AC$ incontra $L$ al punto $D$. Il bisettore perpendicolare di $BC$ incontra $L$ al punto $P$. Il $E$ deve essere il piede della perpendicolare da $D$ a $AC$.

Prove che il triangolo $BPE$ è uguale.

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Chess pieces on n²×n² board, find winning values of n

For some integer $n$, a set of $n^2$ magical chess pieces arrange themselves on a square $n^2\times n^2$ chessboard composed of $n^4$ unit squares. At a signal, the chess pieces all teleport to another square of the chessboard such that the distance between the centres of their old and new squares is $n$. The chess pieces win if, both before and after the signal, there are no two chess pieces in the same row or column. For which values of $n$ can the chess pieces win?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Piani di scacchi su tavola n2×n2, trovare valori vincenti di n

Per alcuni numeri interi $n$, un insieme di pezzi magici di scacchi $n^2$ si organizzano su una scacchiera quadrata $n^2\times n^2$ composta da quadrati unitari $n^4$. A un segnale, tutti i pezzi di scacchi si teleportano su un altro quadrato della scacchiera in modo tale che la distanza tra i centri dei loro quadrati vecchi e nuovi sia $n$. I pezzi di scacchi vincono se, sia prima che dopo il segnale, non ci sono due pezzi di scacchi nella stessa riga o colonna. Per quali valori di $n$ possono vincere i scacchi?

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Count non-empty subsets of {1,2,…,p-1} with sum divisible by p

Let $p$ be an odd prime. How many non-empty subsets of $\{1,2,3,\dots ,p-2,p-1\}$ have a sum which is divisible by $p$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i sottoinsiemi non vuoti di {1,2,…,p-1} con somma divisibile per p

Lasciate che $p$ sia un primo parziale. Quanti sottoinsiemi non vuoti di $\{1,2,3,\dots ,p-2,p-1\}$ hanno una somma divisibile per $p$?

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Find all functions f: ℝ⁺→ℝ⁺ with f(x)≤f(y) for x≤y and functional equation

Find all functions $f$ from the positive real numbers to the positive real numbers for which $f(x)\le f(y)$ whenever $x\le y$ and $f(x^4)+f(x^2)+f(x)+f(1)=x^4+x^2+x+1$ for all $x>0$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Backward, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le funzioni f: R+→R+ con f(x)≤f(y) per x≤y e equazione funzionale

Trova tutte le funzioni $f$ dai numeri reali positivi ai numeri reali positivi per i quali $f(x)\le f(y)$ ogni volta $x\le y$ e $f(x^4)+f(x^2)+f(x)+f(1)=x^4+x^2+x+1$ per tutti $x>0$.

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