British Mathematical Olympiad 2020 — Round 2

Odd integer terms in recursive sequence

A sequence $a_1,a_2,a_3,\dots$ has $a_1>2$ and satisfies: $a_{n+1}=\frac{a_n(a_n-1)}{2}$ for all positive integers $n$. For which values of $a_1$ are all the terms of the sequence odd integers?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Termini di numeri interi ordinati in sequenza ricorsiva

Una sequenza $a_1,a_2,a_3,\dots$ ha $a_1>2$ e soddisfa: $a_{n+1}=\frac{a_n(a_n-1)}{2}$ per tutti gli integri positivi $n$. Per quali valori di $a_1$ tutti i termini della sequenza sono numeri interi pari?

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Collections of four coplanar points with equal circumradii

Describe all collections $S$ of at least four points in the plane such that no three points are collinear and every triangle formed by three points in $S$ has the same circumradius.

(The circumradius of a triangle is the radius of the circle passing through all three of its vertices.)

Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Collezioni di quattro punti coplanari con circondazioni uguali

Descrivere tutte le collezioni $S$ di almeno quattro punti del piano in modo tale che non ci siano tre punti collineari e che ogni triangolo formato da tre punti di $S$ abbia lo stesso radio di circonferenza.

*(Il radius circundiale di un triangolo è il radius del cerchio che attraversa tutte e tre le sue vertici.) *

src_bmo2_2020__Q02

Balanced colourings of 2019×2019 grid

A $2019\times 2019$ square grid is made up of $2019^2$ unit cells. Each cell is coloured either black or white. A colouring is called balanced if, within every square subgrid made up of $k^2$ cells for $1\le k\le 2019$, the number of black cells differs from the number of white cells by at most one. How many different balanced colourings are there?

(Two colourings are different if there is at least one cell which is black in exactly one of them.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colori bilanciati del 2019×grid del 2019

Una griglia quadrata $2019\times 2019$ è composta da celle unità $2019^2$. Ogni cella è di colore nero o bianco. Un colorante è denominato equilibrato se, all’interno di ogni sottogrido quadrato composto da cellule $k^2$ per $1\le k\le 2019$, il numero di cellule nere differisce dal numero di cellule bianche di almeno una. Quante diverse colorazioni equilibrate ci sono?

*(Due colorazioni sono diverse se in una di esse c’è almeno una cellula nera.) *

src_bmo2_2020__Q03

Nonzero real sequence bounded and exceeding 2020

A sequence $b_1,b_2,b_3,\dots$ of nonzero real numbers has the property that $b_{n+2}=\frac{b_{n+1}^2-1}{b_n}$ for all positive integers $n$.

Suppose that $b_1=1$ and $b_2=k$ where $1<k<2$. Show that there is some constant $B$, depending on $k$, such that $-B\le b_n\le B$ for all $n$. Also show that, for some $1<k<2$, there is a value of $n$ such that $b_n>2020$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Invarianti, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nero sequenza reale con limite e superiore al 2020

Una sequenza $b_1,b_2,b_3,\dots$ di numeri reali non zero ha la proprietà di $b_{n+2}=\frac{b_{n+1}^2-1}{b_n}$ per tutti gli enti interi positivi $n$.

Supponiamo che $b_1=1$ e $b_2=k$ dove $1<k<2$. Indicare che esiste una costante $B$, a seconda di $k$, tale che $-B\le b_n\le B$ per tutti $n$. Indicare anche che, per alcuni $1<k<2$, esiste un valore di $n$ tale che $b_n>2020$.

src_bmo2_2020__Q04