British Mathematical Olympiad 2021 — Round 2

Show every positive integer has a good multiple

A positive integer $n$ is called good if there is a set of divisors of $n$ whose members sum to $n$ and include 1. Prove that every positive integer has a multiple which is good.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra che ogni intero positivo ha un buon multiplo

Un intero positivo $n$ è chiamato buono se esiste un insieme di divisori di $n$ i cui membri sommano a $n$ e includono 1. Prove che ogni intero positivo ha un multiple che è buono.

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Tiling square of side n with a×a and b×b tiles

Eliza has a large collection of $a\times a$ and $b\times b$ tiles where $a$ and $b$ are positive integers. She arranges some of these tiles, without overlaps, to form a square of side length $n$. Prove that she can cover another square of side length $n$ using only one of her two types of tile.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tiling quadrato di lato n con a×a e b×b piastrelle

Eliza ha una grande collezione di piastrelle $a\times a$ e $b\times b$ in cui $a$ e $b$ sono integri positivi. Lei organizza alcune di queste piastrelle, senza sovrapposizioni, per formare un quadrato di lunghezza laterale $n$. Provare che può coprire un altro quadrato di lunghezza laterale $n$ utilizzando solo uno dei suoi due tipi di piastrelle.

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AI and KD meet on circumcircle via right-angle point K

Let $ABC$ be a triangle with $AB>AC$. Its circumcircle is $\Gamma$ and its incentre is $I$. Let $D$ be the contact point of the incircle of $ABC$ with $BC$.

Let $K$ be the point on $\Gamma$ such that $\angle AKI$ is a right angle.

Prove that $AI$ and $KD$ meet on $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

AI e KD si incontrano su un circoncircolo attraverso un punto di angolo rettangolo K

Che $ABC$ sia un triangolo con $AB>AC$. Il suo circoncircolo è $\Gamma$ e il suo incentro è $I$. Il punto di contatto dell’incircolo di $ABC$ con $BC$ è $D$.

$K$ sia il punto su $\Gamma$ in modo tale che $\angle AKI$ sia un angolo retto.

Prove che $AI$ e $KD$ si incontrano su $\Gamma$.

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Sequence of smallest novel integers; shifted sequence covers all integers once

Matthew writes down a sequence $a_1,a_2,a_3,\dots$ of positive integers. Each $a_n$ is the smallest positive integer, different from all previous terms in the sequence, such that the mean of the terms $a_1,a_2,\dots ,a_n$ is an integer. Prove that the sequence defined by $a_i-i$ for $i=1,2,3,\dots$ contains every integer exactly once.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi nuovi più piccoli; sequenza spostata copre tutti gli enti interi una volta

Matteo scrive una sequenza $a_1,a_2,a_3,\dots$ di numeri interi positivi. Ogni $a_n$ è il numero intero positivo più piccolo, diverso da tutti i termini precedenti della sequenza, in modo tale che la media dei termini $a_1,a_2,\dots ,a_n$ è un numero intero. Provare che la sequenza definita da $a_i-i$ per $i=1,2,3,\dots$ contiene ogni numero intero esattamente una volta.

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