Find all k such that infinitely many k-numbers exist
For a given positive integer , we call an integer a -number if both of the following conditions are satisfied:
(i) The integer is the product of two positive integers which differ by .
(ii) The integer is less than a square number.
Find all such that there are infinitely many -numbers.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Trova tutti i k in modo tale che esistano infinitamente molti k-numeri
Per un dato numero intero positivo , chiamiamo un numero intero un numero se sono soddisfatte entrambe le seguenti condizioni:
(i) Il numero intero è il prodotto di due numeri interi positivi che differiscono di .
(ii) Il numero intero è inferiore a un numero quadrato.
Trova tutti in modo che ci siano infinitamente molti -numeri.
Find all f from positive integers to positive integers satisfying functional equation
Find all functions from the positive integers to the positive integers such that for all we have:
Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Backward, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Ritrovare tutti i f dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi che soddisfano l’equazione funzionale
Trova tutte le funzioni dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi in modo che per tutti abbiamo:
Cards in boxes; show N exists to split regular pile into two non-empty regular piles
The cards from identical decks of cards are put into boxes. Each deck contains 50 cards, labelled from 1 to 50. Each box can contain at most 2022 cards. A pile of boxes is said to be regular if that pile contains equal numbers of cards with each label. Show that there exists some such that if , then the boxes can be divided into two non-empty regular piles.
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Induzione, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Carte nelle scatole; mostra N esiste per dividere la pila regolare in due pile regolare non vuote
Le carte provenienti da mazzi di carte identiche vengono messe in scatole. Ogni mazzo contiene 50 carte, etichettate da 1 a 50. Ogni scatola può contenere al massimo 2022 carte. Si dice che una pila di scatole sia regolare se contiene uguali numeri di carte con ciascuna etichetta. Mostrare che esiste un certo in modo che se , le scatole possano essere suddivise in due pile regolari non vuote.
Acute triangle with circumcircle; prove line AT passes through Q
Let be an acute angled triangle with circumcircle . Let and be the lines perpendicular to which pass through and respectively. A point lies on the minor arc . The tangent to at meets at and at respectively. The line through perpendicular to and the line through perpendicular to meet at a point .
Given that lies on , prove that the line passes through .
(A minor arc of a circle is the shorter of the two arcs with given endpoints.)
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Triangolo acuto con circoncircolo; prova che la linea AT passa attraverso Q
Il deve essere un triangolo angolato acuto con circoncircolo . Le linee e siano perpendicolari a che attraversano rispettivamente e . Un punto si trova sull’arco minore . La tangente di a incontra rispettivamente a e a . La linea attraverso perpendicolare a e la linea attraverso perpendicolare a si incontrano in un punto .
Dato che si trova su , dimostrare che la linea passa attraverso .
Un arco minore di un cerchio è il più corto dei due archi con determinati punti di fine.)