British Mathematical Olympiad 2023 — Round 2

Cyclic quadrilateral from triangle with obtuse angle and incircle tangencies

Let $ABC$ be a triangle with an obtuse angle at $A$ and incentre $I$. Circles $ABI$ and $ACI$ intersect $BC$ again at $X$ and $Y$ respectively. The lines $AX$ and $BI$ meet at $P$, and the lines $AY$ and $CI$ meet at $Q$. Prove that $BCQP$ is cyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero ciclico da triangolo con angolo obtuso e tangenze incircolari

Il $ABC$ deve essere un triangolo con un angolo obtuso a $A$ e incentro $I$. I cerchi $ABI$ e $ACI$ si incrociano di nuovo a $BC$ rispettivamente a $X$ e $Y$. Le linee $AX$ e $BI$ si incontrano a $P$, e le linee $AY$ e $CI$ si incontrano a $Q$. Provare che $BCQP$ è ciclico.

src_bmo2_2023__Q01

Blackboard moves on 1 to n transform list to n,1,2,…,n-1

For an integer $n>1$, the numbers $1,2,3,\dots ,n$ are written in order on a blackboard. The following moves are possible:

(i) Take three adjacent numbers $x,y,z$ whose sum is a multiple of 3 and replace them with $y,z,x$.

(ii) Take two adjacent numbers $x,y$ whose difference is a multiple of 3 and replace them with $y,x$.

For example, we could take: $1,2,3,4\stackrel{(i)}{\to }2,3,1,4\stackrel{(ii)}{\to }2,3,1,4$.

Find all $n$ such that the initial list can be transformed into $n,1,2,\dots ,n-1$ after a finite number of moves.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Congruenze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La lavagna si sposta da 1 a n lista di trasformazioni a n,1,2,…,n-1

Per un numero intero $n>1$, i numeri $1,2,3,\dots ,n$ sono scritti in ordine su una lavagna. Sono possibili le seguenti mosse:

(i) Prendere tre numeri adiacenti $x,y,z$ la cui somma è un multiple di 3 e sostituirli con $y,z,x$.

(ii) Prendere due numeri adiacenti $x,y$ la cui differenza è un multiple di 3 e sostituirli con $y,x$.

Ad esempio, potremmo prendere: $1,2,3,4\stackrel{(i)}{\to }2,3,1,4\stackrel{(ii)}{\to }2,3,1,4$.

Trova tutte le $n$ in modo tale che l’elenco iniziale possa essere trasformato in $n,1,2,\dots ,n-1$ dopo un numero finito di mosse.

src_bmo2_2023__Q02

Count ideal n-lists defined by a minimal nonzero average difference condition

For an integer $n\ge 3$, we say that $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ is an $n$-list if every $a_i$ is an integer in the range $1\le a_i\le n$. For each $k=1,\dots ,n-1$, let $M_k$ be the minimal possible non-zero value of $\left|\frac{a_1+\cdots +a_{k+1}}{k+1}-\frac{a_1+\cdots +a_k}{k}\right|$ across all $n$-lists. We say that an $n$-list $A$ is ideal if $\left|\frac{a_1+\cdots +a_{k+1}}{k+1}-\frac{a_1+\cdots +a_k}{k}\right|=M_k$ for each $k=1,\dots ,n-1$.

Find the number of ideal $n$-lists.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare n-liste ideali definite da una condizione minima di differenza media non zero

Per un intero $n\ge 3$, diciamo che $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ è un $n$-lista se ogni $a_i$ è un intero nell’intervallo $1\le a_i\le n$. Per ciascuna $k=1,\dots ,n-1$, $M_k$ deve essere il minimo possibile non-zero di $\left|\frac{a_1+\cdots +a_{k+1}}{k+1}-\frac{a_1+\cdots +a_k}{k}\right|$ in tutte le liste $n$. Diciamo che un $n$-lista $A$ è ideale se $\left|\frac{a_1+\cdots +a_{k+1}}{k+1}-\frac{a_1+\cdots +a_k}{k}\right|=M_k$ per ogni $k=1,\dots ,n-1$.

Trova il numero delle liste $n$ ideali.

src_bmo2_2023__Q03

Triangle with integer sides, hcf 1, angle A=3B implies a perfect cube side

The side lengths $a,b,c$ of a triangle $ABC$ are positive integers such that the highest common factor of $a$, $b$ and $c$ is 1. Given that $\angle A=3\angle B$, prove that at least one of $a$, $b$ and $c$ is a cube.

Topic: Teoria dei Numeri, Trigonometria, Geometria piana Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con lati interi, hcf 1, angolo A=3B implica un lato cubo perfetto

Le lunghezze laterali $a,b,c$ di un triangolo $ABC$ sono numeri interi positivi in modo che il fattore comune più alto di $a$, $b$ e $c$ sia 1. Dato che $\angle A=3\angle B$, dimostrare che almeno uno di $a$, $b$ e $c$ è un cubo.

src_bmo2_2023__Q04