British Mathematical Olympiad 2024 — Round 2

Sequence terms have three or more prime factors

In the sequence $7,76,769,7692,76923,769230,\dots$, the $n$th term is given by the first $n$ digits after the decimal point in the expansion of $10/13=0.7692307692\dots$

Prove that of the first 60 terms of the sequence, at least 49 have three or more prime factors (repeated prime factors are allowed; for example, $76=2\times 2\times 19$ has three prime factors).

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I termini di sequenza hanno tre o più fattori primi

Nella sequenza $7,76,769,7692,76923,769230,\dots$, il termine $n$ è dato dai primi numeri $n$ dopo il punto decimale nell’espansione di $10/13=0.7692307692\dots$

Prove che nei primi 60 termini della sequenza, almeno 49 hanno tre o più fattori primi (sono ammessi fattori primi ripetuti; ad esempio, $76=2\times 2\times 19$ ha tre fattori primi).

src_bmo2_2024__Q01

Functional equation on integers with 2f(f(n))=5f(n)-2n

Find all functions $f$ from the integers to the integers such that for all integers $n$: $2f(f(n))=5f(n)-2n.$

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale su numeri interi con 2f(f(n))=5f(n)-2n

Trova tutte le funzioni $f$ dai numeri interi ai numeri interi in modo che per tutti i numeri interi $n$: $2f(f(n))=5f(n)-2n.$

src_bmo2_2024__Q02

Cyclic quadrilateral from tangent intersections in acute triangle

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB>AC$. Let $P$ be the intersection of the tangents to the circumcircle of $ABC$ at $B$ and $C$. The line $PB$ and $PC$ meets lines $AB$ and $AC$ at $X$ and $Y$ respectively.

Prove that the quadrilateral $AXYP$ is cyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero ciclico da intersezioni tangenti in triangolo acuto

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $AB>AC$. $P$ è l’intersezione delle tangenti al circoncircolo di $ABC$ a $B$ e $C$. Le linee $PB$ e $PC$ incontrano rispettivamente le linee $AB$ e $AC$ a $X$ e $Y$.

Provare che il quadrilaterale $AXYP$ è ciclico.

src_bmo2_2024__Q03

method — 115 quesiti (italiani).

Quesiti

method — 424 quesiti (italiani).

Quesiti

Empty piles by removing n objects from two chosen piles

Let $m<n$ be positive integers. Start with $n$ piles, each of $m$ objects. Repeatedly carry out the following operation: choose two piles and remove $n$ objects in total from the two piles. For which $(m,n)$ is it possible to empty all the piles?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework, Congruenze Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

metodo 115 quesiti (italiani).

Quesiti

metodo 424 quesiti (italiani).

Quesiti

Pillette vuote rimuovendo n oggetti da due pile scelte

Lasciate che $m<n$ siano numeri interi positivi. Inizia con pile $n$, ciascuno degli oggetti $m$. eseguire ripetutamente la seguente operazione: scegliere due pile e rimuovere l’insieme degli oggetti $n$ da queste due pile. Per quale $(m,n)$ è possibile svuotare tutte le pile?

src_bmo2_2024__Q04