British Mathematical Olympiad 2025 — Round 2

Express 1/n as finite sum of reciprocals of distinct triangular numbers

Prove that if $n$ is a positive integer, then $\frac{1}{n}$ can be written as a finite sum of reciprocals of different triangular numbers.

[A triangular number is one of the form $\frac{k(k+1)}{2}$ for some positive integer $k$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Espresso 1/n come somma finita di reciprocità di numeri triangolari distinti

Prova che se $n$ è un intero positivo, allora $\frac{1}{n}$ può essere scritto come una somma finita di reciprocità di diversi numeri triangolari.

[Un *numero triangolare * è una delle forme $\frac{k(k+1)}{2}$ per un intero positivo $k$.]

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Point D on incircle tangency perpendicular bisector lies on circumcircle of AQP

In an acute-angled triangle $ABC$ with $AB<AC$, the incentre is $I$ and the perpendicular bisector of $BC$ meets $BI$ at $P$ and $CI$ at $Q$. The circles $BIQ$ and $CIP$ meet again at $X$. The lines $AX$ and $BC$ meet at $D$.

Prove that $D$ lies on the circle $AQP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il punto D sul bisettore perpendicolare della tangenza incircolare si trova sul circoncircolo di AQP

In un triangolo a angolo acuto $ABC$ con $AB<AC$, l’incentro è $I$ e il bisettore perpendicolare di $BC$ incontra $BI$ a $P$ e $CI$ a $Q$. I cerchi $BIQ$ e $CIP$ si incontrano di nuovo a $X$. Le linee $AX$ e $BC$ si incontrano a $D$.

Provare che $D$ si trova sul cerchio $AQP$.

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Largest number of swaps Isaac might need on n×n chessboard

An $n\times n$ chessboard consists of $n^2$ cells which are unit squares. Each cell is coloured black or white so that cells with a common edge are different colours. Isaac muddles up the colouring by repeatedly swapping either two complete columns or two complete rows. Elijah wants to restore the original colouring by repeatedly swapping either two complete columns or two complete rows.

In terms of $n$, what is the largest number of swaps that Elijah might need?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Il maggior numero di swap di cui Isaac potrebbe avere bisogno su n ×n scacchi *

Una scacchiera $n\times n$ è composta da celle $n^2$ che sono quadrati unitari. Ogni cellula è di colore nero o bianco, in modo che le cellule con un bordo comune abbiano colori diversi. Isaac sconvolge il colore scambiando ripetutamente due colonne complete o due righe complete. Elijah vuole ripristinare il colore originale scambiando ripetutamente due colonne complete o due righe complete.

In termini di $n$, qual è il maggior numero di swap che Elijah potrebbe aver bisogno?

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Count sequences of positive integers with u_1=1 and given recurrence

How many different sequences of positive integers satisfy $u_1=1$ and $u_{n+1}=\frac{(u_n^2+u_n+1{)}^{2025}}{u_{n-1}}$ for all $n\ge 2$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta sequenze di numeri interi positivi con u_1=1 e recidiva data

Quante diverse sequenze di integri positivi soddisfano $u_1=1$ e $u_{n+1}=\frac{(u_n^2+u_n+1{)}^{2025}}{u_{n-1}}$ per tutti $n\ge 2$?

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