British Mathematical Olympiad 1971-72 — Round 2

Label regular n²-gon vertices with digits 1,2 satisfying four conditions

Show how to assign to the vertices of a regular polygon with $n^2$ vertices, numbers such that: (i) only the digits $1$ and $2$ are used; (ii) only $n$ ones are used; (iii) each vertex has a different number; and (iv) neighbouring vertices have numbers differing in one and only one digit place.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: method_casework, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Etichettatura di vertici regolari n2-gon con cifre 1,2 che soddisfano quattro condizioni

Mostra come assegnare ai vertici di un poligono regolare con vertici $n^2$ numeri tali che: (i) vengono utilizzate solo le cifre $1$ e $2$; (ii) vengono utilizzate solo le cifre $n$; (iii) ogni vertice ha un numero diverso; e (iv) i vertici vicini hanno numeri diversi in un solo e solo luogo di una cifra.

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Prove S = ab/c + bc/d + cd/a + da/b ≥ 4 and find equality conditions

$a,b,c,d$ are positive numbers and $S=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{d}+\frac{cd}{a}+\frac{da}{b}.$ Prove that $S$ is not less than $4$, and obtain necessary conditions for $S=4$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove S = ab/c + bc/d + cd/a + da/b ≥ 4 e trova condizioni di uguaglianza

$a,b,c,d$ sono numeri positivi e $S=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{d}+\frac{cd}{a}+\frac{da}{b}.$ Provare che $S$ non è inferiore a $4$ e ottenere le condizioni necessarie per $S=4$.

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In a friendship graph with no common friends and two common strangers, find n

There are $n$ persons present at a meeting. Every two persons are either friends of each other or strangers to each other. No two friends have a friend in common. Every two strangers have two and only two friends in common. Prove that each person has the same number of friends at the meeting. If this number is $b$, find $n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Grafi, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In un grafico di amicizia senza amici comuni e due stranieri comuni, trovare n

Ci sono persone $n$ presenti in una riunione. Ogni due persone sono o amiche l’una dell’altra o estranee l’una all’altra. Non ci sono due amici che abbiano un amico in comune. Ogni sconosciuto ha due amici in comune. Prove che ogni persona abbia lo stesso numero di amici alla riunione. Se questo numero è $b$, trovare $n$.

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Find all polynomials p such that a·p(a²)+b·p(b²)+c·p(c²)=k·abc for triangle sides

When $k=1$, find all polynomials $p$ in one variable such that $a\cdot p(a^2)+b\cdot p(b^2)+c\cdot p(c^2)=k\cdot abc,$ where $a,b,c$ are the lengths of the sides $BC$, $CA$, $AB$ of triangle $ABC$. Prove your result. What is the effect of altering $k$?

Topic: Algebra, Geometria piana Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i polinomi p tali che a·p(a2)+b·p(b2)+c·p(c2)=k·abc per i lati del triangolo

Quando $k=1$, trovare tutti i polinomi $p$ in una variabile tale che $a\cdot p(a^2)+b\cdot p(b^2)+c\cdot p(c^2)=k\cdot abc,$ dove $a,b,c$ sono le lunghezze dei lati $BC$, $CA$, $AB$ del triangolo $ABC$. Prova il tuo risultato. Qual è l’ effetto di alterare $k$?

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