British Mathematical Olympiad 1972-73 — Round 1

Variable circle touching two fixed circles; PQ through fixed point

(i) Two fixed circles are touched by a variable circle at $P$ and $Q$.

Prove that $PQ$ passes through one of two fixed points.

(ii) State a true theorem about ellipses or if you like about conics in general of which (i) is a particular case.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo variabile che tocca due cerchi fissi; PQ attraverso punto fisso

(i) Due cerchi fissi sono toccati da un cerchio variabile a $P$ e $Q$.

Provare che $PQ$ passa attraverso uno dei due punti fissi.

(ii) Esprimere un vero teorema sulle ellisse o se vi piace su conico in generale di cui (i) è un caso particolare.

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9 points in unit square; triangle of area at most 1/8

$9$ points are given in the interior of the unit square.

Prove there exists a triangle of area $\le \frac{1}{8}$ whose vertices are three of the points.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

9 punti in unità quadrata; triangolo di superficie non superiore a 1/8

I punti $9$ sono indicati all’interno del quadrato unitario.

Prove che esiste un triangolo di superficie $\le \frac{1}{8}$ la cui verticale sono tre dei punti.

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String over hemisphere-on-cylinder surface does not lie in a plane

A curve constituting the quarter-circle $x^2+y^2=r^2$, $x,y\ge 0$, together with the line segment $x=r$, $-h\le y\le 0$, is rotated about $x=0$ to form a surface of revolution which is a hemisphere on a cylinder. A string is stretched tightly over the surface from the point on the curve $(r\sin \alpha ,-r\cos \alpha )$ to the point $(r\alpha ,-h)$ in the plane of the curve. Show that the string does not lie in a plane if $\tan \theta >\frac{r}{h}$.

[You may assume spherical triangle formulae such as $\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha$, $\sin a\cos \beta =\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos \alpha$. In a spherical triangle the sides $a,b,c$ are arcs of great circles and are measured by the angles they subtend at the centre of the sphere.]

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

La corda sopra la superficie dell’emisfero sul cilindro non si trova in piano

Una curva che costituisce il quartiere $x^2+y^2=r^2$, $x,y\ge 0$, insieme al segmento di linea $x=r$, $-h\le y\le 0$, è rotata intorno a $x=0$ per formare una superficie di rivoluzione che è un emisfero su un cilindro. Una stringa è stretta strettamente sulla superficie dal punto della curva $(r\sin \alpha ,-r\cos \alpha )$ al punto $(r\alpha ,-h)$ nel piano della curva. Indicare che la stringa non si trova in un piano se $\tan \theta >\frac{r}{h}$.

[Si possono assumere formule triangolari sferiche come $\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha$, $\sin a\cos \beta =\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos \alpha$. In un triangolo sferico i lati $a,b,c$ sono archi di grandi cerchi e sono misurati dagli angoli che essi sottendono al centro della sfera.]

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Congruent equilateral triangular discs forming convex equiangular hexagon; valid n

You have a large number of congruent triangular equilateral discs on a table and you want to fit $n$ discs together to make a convex equiangular hexagon (i.e. one whose interior angles are each $120^{\circ }$).

Obviously $n$ cannot be any positive integer. The smallest $n$ is $6$, the next smallest is $10$ and the next $13$. Determine conditions for possible $n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

Dischi triangolari equilaterali congruenti che formano un esagono equangolare converso; n valido

Si dispone di un gran numero di dischi equilaterali triangolari congruenti su un tavolo e si desidera mettere insieme i dischi $n$ per creare un esagono equangolare convexo (cioè un angolo interno di ciascuna $120^{\circ }$).

Ovviamente $n$ non può essere un intero positivo. Il più piccolo $n$ è $6$, il successivo è $10$ e il successivo $13$. Determinare le condizioni per un possibile $n$.

src_bmo_1972-73_round1__Q04

Infinite set of integers 2^k - 3 with no common prime factor

There is an infinite set of positive integers of the form $2^k-3$ with the property $Q$: no two members of the set have a common prime factor. An outline of a proof is as follows.

Suppose there is a finite set $S=\{2^{r_1}-3,2^{r_2}-3,\dots \}$ with property $Q$ and having $k$ members. Let the prime factors of these $k$ numbers be $p_1,p_2,\dots ,p_j$. Consider the number $N=2^{(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_j-1)}+1$. By Fermat’s theorem $2^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ for every prime $p$ that does not divide $a$. Hence $N\equiv -3+3\equiv 1(\mathrm{mod}{p}_s)$, $s=1$ to $r$, and $N-3$ may be added to $S$ to give a larger set with property $Q$.

Give a properly expanded and reasoned proof that there is an infinite set of positive integers of the form $2^k-3$ with property $Q$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

insieme infinito di integri 2^k - 3 senza fattore primo comune

C’è un insieme infinito di interi positivi della forma $2^k-3$ con la proprietà $Q$: non due membri del insieme hanno un fattore primo comune. Un’espressione della prova è la seguente.

Supponiamo che ci sia un insieme finito $S=\{2^{r_1}-3,2^{r_2}-3,\dots \}$ con proprietà $Q$ e con membri $k$. I fattori primi di questi numeri $k$ siano $p_1,p_2,\dots ,p_j$. Considerate il numero $N=2^{(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_j-1)}+1$. Per il teorema di Fermat $2^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ per ogni primo $p$ che non divide $a$. Pertanto $N\equiv -3+3\equiv 1(\mathrm{mod}{p}_s)$, $s=1$ a $r$ e $N-3$ possono essere aggiunti a $S$ per dare un insieme più grande con proprietà $Q$.

Date una prova adeguatamente ampliata e motivata che vi sia un insieme infinito di interi positivi della forma $2^k-3$ con proprietà $Q$.

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Ratio of boys to girls from probability of agreeing with teacher

In answering general knowledge questions (framed so that each question is answered yes or no) the teacher’s probability of being correct is $a$ and a pupil’s probability of being correct is $b$ or $c$ according as the pupil is a boy or a girl.

The probability of a randomly chosen pupil agreeing with the teacher’s answer is $\frac{1}{2}$.

Find the ratio of the numbers of boys to girls in the class.

Topic: Probabilità, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ratio di ragazzi a ragazze rispetto alla probabilità di essere d’accordo con l’insegnante

Quando si rispondono a domande di conoscenza generale (questioni in modo che ogni domanda sia risolta con sì o no), la probabilità che l’insegnante sia corretto è $a$ e la probabilità che l’allievo sia corretto è $b$ o $c$ a seconda che l’allievo sia un ragazzo o una ragazza.

La probabilità che un allievo scelto in modo casuale sia d’accordo con la risposta dell’insegnante è $\frac{1}{2}$.

Trova il rapporto tra il numero di ragazzi e ragazze in classe.

src_bmo_1972-73_round1__Q06

Life-expectancy of a Draconian aged 70 from a life-table model

The life-table issued by the Registrar-General of Draconia shows out of $10,000$ live births the number $(y)$ expected to be alive $a$ years later. For $60\le a\le 100$ the curve $y=Ax(100-x)+\frac{B}{(x-40{)}^2}$ fits the figures in the table very closely, $A$ and $B$ being constants.

Determine the life-expectancy (in years correct to one decimal place) of a Draconian aged $70$.

N.B. At age $100$ all Draconians are put to death.

Topic: Algebra, Geometria analitica Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

L’aspettativa di vita di un draconiano di 70 anni da un modello di tavolo vita

La tabella di vita rilasciata dal segretario generale della Draconia mostra tra i nati vivi $10,000$ il numero $(y)$ che si prevede sarà vivo $a$ anni dopo. Per $60\le a\le 100$ la curva $y=Ax(100-x)+\frac{B}{(x-40{)}^2}$ si adatta molto strettamente alle cifre della tabella, essendo costanti $A$ e $B$.

Determinare l’aspettativa di vita (in anni corretti a un decimale) di un draconiano di età $70$.

N.B. All’età $100$ tutti i draconiani vengono giustiziati.

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Companion matrix of a Mobius map; product and conditions for T^n = I

Call $M_p=\left(\begin{array}{cc}{a}_p& b_p\\ c_p& d_p\end{array}\right)$ the companion matrix for the mapping $T_p:a⟼\frac{a_{p}a+b_p}{c_{p}a+d_p}$. $\det M_p\ne 0$.

(i) Prove that $M_1{M}_2$ is the companion matrix for the mapping $T_1{T}_2$.

(ii) Find conditions on $a,b,c,d$ so that $T^n=I$ but $T^2\ne I$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Matrice di compagnia di una mappa Mobius; prodotto e condizioni per T^n = I

Chiamare la matrice di accompagnamento per la mappatura $M_p=\left(\begin{array}{cc}{a}_p& b_p\\ c_p& d_p\end{array}\right)$. $\det M_p\ne 0$.

(i) dimostrare che $M_1{M}_2$ è la matrice di accompagnamento per la mappatura $T_1{T}_2$.

(ii) Trovare le condizioni su $a,b,c,d$ in modo che $T^n=I$ ma $T^2\ne I$.

src_bmo_1972-73_round1__Q08

Three parametrised lines are concurrent; find concurrency point

$L_r=\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ a+r\cos \alpha & b+r\sin \alpha & 1\\ l+r\cos {\alpha }_r& m+r\sin {\alpha }_r& 1\end{array}\right|$

Show that the lines $L_r=0$, $r=1,2,3$ are concurrent and find the co-ordinates of their concurrence.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre linee parametrizzate sono simultanee; trovare punto di simultanea

$L_r=\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ a+r\cos \alpha & b+r\sin \alpha & 1\\ l+r\cos {\alpha }_r& m+r\sin {\alpha }_r& 1\end{array}\right|$

Indicare che le linee $L_r=0$, $r=1,2,3$ sono simultanee e trovare le coordinate della loro concordanza.

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Flow chart for program printing integers a,b,c with c^2 = a^2 - b^2

Construct a detailed flow chart for a computer program to print out all positive integers up to $100$ of the form $c^2=a^2-b^2$, where $a$, $b$, $c$ are positive integers and $a\ge b>c$.

There is no need to print in ascending order or to avoid repetitions.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Grafica di flusso per la stampa di integri a,b,c con c^2 = a^2 - b^2

Costruire un grafico di flusso dettagliato per un programma informatico per stampare tutti gli enti interi positivi fino a $100$ del modulo $c^2=a^2-b^2$, dove $a$, $b$, $c$ sono interi positivi e $a\ge b>c$.

Non c’è bisogno di stampare in ordine ascendente o di evitare ripetizioni.

src_bmo_1972-73_round1__Q10

Two rough cylinders, one rolling on the other; obtain theta-dot from the ODE

(i) Two uniform rough right circular cylinders $A$ and $B$, with the same length, have radii and masses $a$, $b$ and $M$, $m$ respectively.

$A$ rests with a generator in contact with a rough horizontal table. $B$ rests on $A$, initially in unstable equilibrium, with its axis vertically above $A$‘s. Equilibrium is disturbed, $B$ rolls on $A$ and $A$ rolls on the table. In the subsequent motion the plane containing the axes makes an angle $\theta$ with the vertical.

Draw diagrams showing angles, forces etc., for the period when there is no slipping. Write down equations which will give on elimination a differential equation for $\theta$, stating the principles used. Indicate how the elimination could be done; you are not asked to do it.

(ii) Such a differential equation is, with $k=m/M$, $\ddot{\theta }\left(4+2\cos \alpha -2{\cos }^2\alpha +9\frac{k}{2}\right)+{\dot{\theta }}^2\sin \alpha (2\cos \alpha -1)=\frac{3g(1+k)\sin \alpha }{a+b}.$

Obtain $\dot{\theta }$ in terms of $\alpha$.

[Moment of inertia of a uniform cylinder about its axis is $\frac{1}{2}(\text{mass})(\text{radius}{)}^2$.]

Topic: Geometria solida, Trigonometria, Algebra Metodo: Trigonometria Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due cilindri grossi, uno a rotoli sull’altro; ottenere il theta dot dall’ODE

(i) Due cilindri circolari a destra $A$ e $B$, di uguale lunghezza, hanno rispettivamente radii e masse $a$, $b$ e $M$, $m$.

$A$ si basa su un generatore in contatto con una tavola orizzontale ruvida. $B$ si basa su $A$, inizialmente in equilibrio instabile, con l’asse verticalmente superiore a $A$. L’equilibrio è disturbato, $B$ ruota su $A$ e $A$ ruota sul tavolo. Nel movimento successivo il piano contenente gli assi fa un angolo $\theta$ con la verticale.

Disegnare diagrammi che mostrino angoli, forze, ecc., per il periodo in cui non c’è scivolamento. Scrivere le equazioni che, in caso di eliminazione, danno un’equazione differenziale per $\theta$, indicando i principi utilizzati. Indicare come si potrebbe effettuare l’eliminazione; non vi viene chiesto di farlo.

(ii) Tale equazione differenziale è, con $k=m/M$, $\ddot{\theta }\left(4+2\cos \alpha -2{\cos }^2\alpha +9\frac{k}{2}\right)+{\dot{\theta }}^2\sin \alpha (2\cos \alpha -1)=\frac{3g(1+k)\sin \alpha }{a+b}.$

Ottenere $\dot{\theta }$ in termini di $\alpha$.

[Il momento di inerzia di un cilindro uniforme attorno al suo asse è $\frac{1}{2}(\text{mass})(\text{radius}{)}^2$.]

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