British Mathematical Olympiad 1973-74 — Round 1

Three curves where B bisects area between A and C; find equation of C

The curves $A$, $B$ and $C$ are related in such a way that $B$ “bisects” the area between $A$ and $C$, that is, the area of the region $V$ is equal to the area of the region $W$ at all points of the curve $B$. Find the equation of curve $C$ given that the equation of curve $A$ is $y=\frac{x}{x_0}$ and that the equation of curve $B$ is $y=\frac{x}{x_0^2}$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre curve in cui B divide l’area tra A e C; trovare l’equazione di C

Le curve $A$, $B$ e $C$ sono correlate in modo tale che $B$ “bisetti” l’area tra $A$ e $C$, cioè l’area della regione $V$ è uguale all’area della regione $W$ in tutti i punti della curva $B$. Trova l’equazione della curva $C$ dato che l’equazione della curva $A$ è $y=\frac{x}{x_0}$ e che l’equazione della curva $B$ è $y=\frac{x}{x_0^2}$.

src_bmo_1973-74_round1__Q01

Partition set of 15 dominoes (integers 1–5) into three closed chains of 5

A domino is an unordered pair of integers. The set of all 15 dominoes containing two integers from $1,2,3,4,5$ is partitioned into three subsets of five dominoes. The dominoes in each subset form a closed chain, that is $(a_1,b_1)(a_2,b_2)(a_3,b_3)(a_4,b_4)(a_5,b_5)$ where $a_2=b_1$, $a_3=b_2$, $a_4=b_3$, $a_5=b_4$, $a_1=b_5$ (and $a_i$, $b_i$ need not all be different). How many such partitions are there? (The order of the three subsets in the partition is immaterial.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sett di partizioni di 15 domino (integer 15) in tre catene chiuse di 5

Un domino è una coppia di numeri interi non ordinati. L’insieme di tutti i 15 domino contenenti due enti da $1,2,3,4,5$ è diviso in tre sottinsiemi di cinque domino. I domino di ciascun sottoinsieme formano una catena chiusa, cioè $(a_1,b_1)(a_2,b_2)(a_3,b_3)(a_4,b_4)(a_5,b_5)$, dove $a_2=b_1$, $a_3=b_2$, $a_4=b_3$, $a_5=b_4$, $a_1=b_5$ (e $a_i$, $b_i$ non devono essere tutti diversi). Quante partizioni di questo tipo ci sono? (L’ordine dei tre sottogruppi della partizione è irrilevante.)

src_bmo_1973-74_round1__Q02

Prove no convex polyhedron can have all hexagonal faces

Prove that it is impossible for all the faces of a convex polyhedron to be hexagons.

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove che nessun poliedro converso può avere tutte le facce esagonali

Dimostra che è impossibile che tutti i volti di un poliedro converso siano esagoni.

src_bmo_1973-74_round1__Q03

Find inverse of 16x16 matrix with 1s on leading diagonal and in 16th row

$M$ is a $16\times 16$ matrix. Each element in the leading diagonal and each element in the last row (the 16th row) is $1$. Every other element of the matrix is $0$. Find the inverse of $M$.

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca l’inverso della matrice 16x16 con 1s sulla diagonale di punta e nella sesta riga

$M$ è una matrice $16\times 16$. Ogni elemento nella diagonale principale e ogni elemento nell’ultima riga (la sesta riga) è $1$. Ogni altro elemento della matrice è $0$. Trova l’inverso di $M$.

src_bmo_1973-74_round1__Q04

Probability exactly one player has a complete suit in a bridge deal

A bridge deal is defined as the distribution of 52 ordinary playing cards among four players so that each player has 13 cards. In a bridge deal what is the probability that just one player has a complete suit? (Leave your answer in factorials.)

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Probabilità che esattamente un giocatore abbia un completo in un contratto di ponte

Un accordo di bridge è definito come la distribuzione di 52 carte di gioco ordinarie tra quattro giocatori in modo che ciascuno abbia 13 carte. In un accordo di bridge, qual è la probabilità che solo un giocatore abbia un completo? (Lascia la tua risposta nei fattoriali.)

src_bmo_1973-74_round1__Q05

Feet of perpendiculars from P to sides of triangle; line through P perpendicular to AB meets XY at Z bisecting AB

$X$ and $Y$ are the feet of the perpendiculars from a point $P$ to $CA$ and $CB$ respectively, where $P$ is a point in the triangle $ABC$. The straight line through $P$ which is perpendicular to $AB$ cuts $XY$ at $Z$. Prove that $CZ$ bisects $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Piedi di perpendicolari da P ai lati del triangolo; linea attraverso P perpendicolare a AB incontra XY a Z, suddividendo AB

$X$ e $Y$ sono i piedi delle perpendicolari da un punto $P$ a $CA$ e $CB$ rispettivamente, dove $P$ è un punto del triangolo $ABC$. La linea retta attraverso $P$, perpendicolare a $AB$, taglia $XY$ a $Z$. Provare che $CZ$ divide $AB$.

src_bmo_1973-74_round1__Q06

Roots of cubic expressed via each other; find coefficients p, q, r and reality condition

The roots of the equation $x^3=bx+c$ ($bc\ne 0$, $b$ and $c$ real) are $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$. Determine $p$, $q$ and $r$ in terms of $b$ and $c$ so that $\beta =p{\alpha }^2+q\alpha +r,\gamma =p{\beta }^2+q\beta +r,\alpha =p{\gamma }^2+q\gamma +r$ and state a condition which ensures that $p$, $q$ and $r$ are real.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rede di cubo espresse tra loro; trovare i coefficienti p, q, r e condizione di realtà

Le radici dell’equazione $x^3=bx+c$ ($bc\ne 0$, $b$ e $c$ reale) sono $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$. Determinare $p$, $q$ e $r$ in termini di $b$ e $c$ in modo tale che $\beta =p{\alpha }^2+q\alpha +r,\gamma =p{\beta }^2+q\beta +r,\alpha =p{\gamma }^2+q\gamma +r$ e indicare una condizione che garantisca che $p$, $q$ e $r$ siano reali.

src_bmo_1973-74_round1__Q07

Write product of (x+i) as polynomial; prove divisibility; deduce Wilson’s and Fermat’s theorems

Let $n$ be an odd prime number. It is required to write the product ${\prod }_{i=1}^{n-1}(x+i)$ as a polynomial ${\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^j.$ By considering the product ${\prod }_{i=1}^n(x+i)$ in two ways, establish the relations $a_{n-1}=1,$ $a_{n-2}=n(n-1)/2!,$ $2a_{n-3}=n(n-1)(n-2)/3!+a_{n-2}(n-1)(n-2)/2!,$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ $(n-2)a_1=n+a_{n-2}(n-1)+a_{n-3}(n-2)+\cdots +3a_2,$ $(n-1)a_0=1+a_{n-2}+\cdots +a_1.$ Prove $n\mid a_j$ ($j=1,2,\dots ,n-2$) and that $n\mid (a_0+1)$; and prove also that when $x$ is an integer $n\mid (x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)-x^{n-1}+1.$ Hence deduce Wilson’s Theorem and Fermat’s Theorem, namely, that when $n$ is prime and $x$ is not a multiple of $n$: \begin{itemize} \item[(i)] $n\mid (n-1)!+1$; \item[(ii)] $n\mid x^{n-1}-1$. \end{itemize} ($p\mid q$ means $p$ divides $q$ leaving no remainder.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Escrivere il prodotto di (x+i) come polinomio; dimostrare divisibilità; dedurre i teoremi di Wilson e Fermat

$n$ sia un numero primo impar. È necessario scrivere il prodotto ${\prod }_{i=1}^{n-1}(x+i)$ come polinomio ${\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^j.$ Considerando il prodotto ${\prod }_{i=1}^n(x+i)$ in due modi, stabilire le relazioni $a_{n-1}=1,$ $a_{n-2}=n(n-1)/2!,$ $2a_{n-3}=n(n-1)(n-2)/3!+a_{n-2}(n-1)(n-2)/2!,$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ $(n-2)a_1=n+a_{n-2}(n-1)+a_{n-3}(n-2)+\cdots +3a_2,$ $(n-1)a_0=1+a_{n-2}+\cdots +a_1.$ Prove $n\mid a_j$ ($j=1,2,\dots ,n-2$) e che $n\mid (a_0+1)$; e dimostrare anche che quando $x$ è un numero intero $n\mid (x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)-x^{n-1}+1.$ Da qui dedurre il teorema di Wilson e il teorema di Fermat, vale a dire che quando $n$ è primo e $x$ non è un multiple di $n$: \MSK{itemize} \itemii[((((((((( \end{itemize} ($p\mid q$ significa $p$ divide $q$ senza lasciare alcun rimanente.)

src_bmo_1973-74_round1__Q08

Vertical rod hinged at base falls; find time to reach table

A vertical uniform rod of length $2a$ is hinged at its lower end to a frictionless joint secured to a horizontal table. It falls from rest in this unstable position on to the table. Find the time occupied in falling. Comment on your answer.

[You may quote the result $\int (\mathrm{cosec}x)dx=\log |\tan \frac{1}{2}x|$ if you wish.]

Topic: Algebra, Equazioni funzionali Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rota verticale inclinata alle cascate di base; trovare il tempo per raggiungere il tavolo

Una barra verticale uniforme di lunghezza $2a$ è inclinata alla sua estremità inferiore ad una giunta senza attrito fissata ad una tavola orizzontale. Cade dal riposo in questa posizione instabile sul tavolo. Trova il tempo impiegato per cadere. Commenta la tua risposta.

[Puoi citare il risultato $\int (\mathrm{cosec}x)dx=\log |\tan \frac{1}{2}x|$ se lo desideri.]

src_bmo_1973-74_round1__Q09

Gravitational attraction of truncated cone on unit mass at vertex V

A right circular cone whose vertex is $V$ and whose semi-vertical angle is $\alpha$ has height $h$ and uniform density. All points of the cone whose distances from $V$ are less than $a$ or greater than $b$, where $0<a<b<h$, are removed. A solid of mass $M$ is left.

Given that the gravitational attraction that a point mass $m$ at $P$ exerts on unit mass at $O$ is $(Gm/O{P}^3)\overrightarrow{OP}$, prove that the magnitude of the gravitational attraction of this solid on unit mass at $V$ is $\frac{3}{2}GM(1+\cos \alpha )/(a^2+ab+b^2).$

Topic: Geometria solida, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Attrazione gravitazionale di un cono troncato su una massa unitaria al vertice V

Un cono circolare dritto la cui vertica è $V$ e il cui angolo semivertico è $\alpha$ ha altezza $h$ e densità uniforme. Tutti i punti del cono le cui distanze da $V$ sono inferiori a $a$ o superiori a $b$, dove $0<a<b<h$, sono rimossi. Un solido di massa $M$ resta.

Poiché l’attrazione gravitazionale che un punto di massa $m$ a $P$ esercita su massa unità a $O$ è $(Gm/O{P}^3)\overrightarrow{OP}$, dimostrare che la magnitudine dell’attrazione gravitazionale di questo solido su massa unità a $V$ è $\frac{3}{2}GM(1+\cos \alpha )/(a^2+ab+b^2).$

src_bmo_1973-74_round1__Q10