British Mathematical Olympiad 1973-74 — Round 2

Right-angled triangle from trig identity; circumcentre–centroid distance formula

(i) In $△ABC$, ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2$. Prove that $△ABC$ is right-angled. (Hungary, modified)

(ii) $O$ is the circumcentre and $G$ is the centroid of $△ABC$. Prove that $9O{G}^2=R^2(1-8\cos A\cos B\cos C)$. (Bulgaria, modified)

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolare dall’identità trigonometrica; formula per la distanza di circoncentrocentroide

(i) In $△ABC$, ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2$. Prove che $△ABC$ è rettangolare. (Ungheria, modificato)

(ii) $O$ è il circoncentro e $G$ è il centroide di $△ABC$. Prove che $9O{G}^2=R^2(1-8\cos A\cos B\cos C)$. (Bulgaria, modificato)

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Polygonal line in a 50×50 square must have length greater than 1248

A polygonal line is a continuous line $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$ where, for $r=1$ to $n$, $A_r{A}_{r+1}$ is a straight line segment.

In a square of side 50, a polygonal line $L$ is constructed in such a way that the distance of any point inside the square from $L$ (i.e., from the nearest point of $L$) is less than 1. Prove that the length of $L$ is greater than 1248. (USSR)

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*La linea poligonale in un quadrato di 50 ×50 deve avere una lunghezza superiore a 1248 *

Una linea poligonale è una linea continua $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$ in cui, per $r=1$ a $n$, $A_r{A}_{r+1}$ è un segmento di linea retta.

In un quadrato di lato 50, una linea poligonale $L$ è costruita in modo tale che la distanza di qualsiasi punto all’interno del quadrato da $L$ (cioè dal punto più vicino di $L$) sia inferiore a 1. Prova che la lunghezza di $L$ è superiore a 1248. (URSS)

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Locus of centre of circular hoop touching floor and two perpendicular walls

A circular hoop of radius 1 is placed in the corner of the room. (The corner consists of a horizontal floor and two perpendicular vertical walls and the hoop touches all three planes.) Find the locus of the centre of the hoop. (France)

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Localisso del centro del pavimento e delle due pareti perpendicolari di un cerchio circolare *

Un cerchio circolare di raggio 1 è posizionato nell’angolo della stanza. (L’angolo è costituito da un pavimento orizzontale e due pareti verticali perpendicolari e il cerchio tocca tutti e tre i piani). (Francia)

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Cube roots of distinct primes not in AP; or find x²+y²+z² given sum and sum of cubes

EITHER

(a) Show that the cube roots of three distinct prime numbers cannot be three terms (not necessarily consecutive) of an arithmetic progression. (USA)

OR

(b) $x+y+z=3$, $x^3+y^3+z^3=15$. Being given that $x^2+y^2+z^2$ is less than 10, find $x^2+y^2+z^2$. (CZR, modified)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Rede cubiche di numeri primi distinti non in AP; o trovare x2+y2+z2 data somma e somma di cubes

ETHER

(a) Mostrare che le radici cubiche di tre numeri primi distinti non possono essere tre termini (non necessariamente consecutivi) di una progressione aritmetica. (USA)

OR

(b) $x+y+z=3$, $x^3+y^3+z^3=15$. Dato che $x^2+y^2+z^2$ è inferiore a 10, si trova $x^2+y^2+z^2$. (CZR, modificato)

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