British Mathematical Olympiad 1974-75 — Round 1

Solve floor-of-square-roots sum equal to 400

Given that $x$ is a positive integer solve $[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+\dots +[\sqrt{x^2-1}]=400$ (where $[z]$ means the integral part of $z$) and prove your solution is complete.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi la somma del pavimento delle radici quadrate pari a 400

Dato che $x$ è un intero positivo risolvere $[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+\dots +[\sqrt{x^2-1}]=400$ (dove $[z]$ significa la parte integrale di $z$) e dimostrare la soluzione è completa.

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Divisor of difference of prime-set products is 1 or at least p_n

The first $n$ prime numbers, $2,3,5,\dots ,p_n$ are partitioned into two disjoint sets $A$ and $B$. The primes in $A$ are ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_h$ and the primes in $B$ are ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_k$, where $h+k=n$.

The two products $\prod _1^h{\alpha }_i^{a_i}$ and $\prod _1^k{\beta }_i^{b_i}$ are formed where the $a_i$ and ${\beta }_i$ are any positive integers.

If $d$ divides the difference between these products show that either $d=1$ or $d\ge p_n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il divisore di differenza dei prodotti di primo set è 1 o almeno p_n

I primi numeri primi $n$, $2,3,5,\dots ,p_n$ sono suddivisi in due gruppi disconnessi $A$ e $B$. I primi di $A$ sono ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_h$ e i primi di $B$ sono ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_k$, dove $h+k=n$.

I due prodotti $\prod _1^h{\alpha }_i^{a_i}$ e $\prod _1^k{\beta }_i^{b_i}$ si formano quando $a_i$ e ${\beta }_i$ sono numeri interi positivi.

Se $d$ divide la differenza tra questi prodotti, indicare che $d=1$ o $d\ge p_n$.

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Pigeonhole: 7 mutually distant points in unit disc force one at centre

Use the pigeonhole principle (i.e. if more than $n$ objects are put into $n$ pigeonholes then at least one pigeonhole must contain more than one object) to answer the following question.

A disc $S$ is defined as the set of all points $P$ in a plane such that $[OP]\le 1$, where $[OP]$ is the distance of $P$ from $O$, a given point in the plane, called the centre of the disc.

Prove that if the disc $S$ contains $7$ points such that the distance from any of the $7$ points to any other is greater than or equal to $1$, then one of the $7$ points is $O$.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Buco di piccione: 7 punti a distanza reciproca nell’unità di forza del disco uno al centro

Utilizzare il principio del buco di piccione (cioè: se più di $n$ oggetti sono inseriti in $n$ fori di piccione, allora almeno un foro di piccione deve contenere più di un oggetto) per rispondere alla seguente domanda.

Un disco $S$ è definito come l’insieme di tutti i punti $P$ in un piano tale che $[OP]\le 1$, dove $[OP]$ è la distanza di $P$ da $O$, un dato punto del piano, chiamato centro del disco.

Prova che se il disco $S$ contiene punti $7$ in modo tale che la distanza da uno dei punti $7$ a un altro punto sia superiore o pari a $1$, allora uno dei punti $7$ è $O$.

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Collinear points dividing parallel cevians in ratio k:1; find k

Three parallel lines $AD$, $BE$, $CF$ are drawn through the vertices of triangle $ABC$ meeting the opposite sides in $D$, $E$, $F$ respectively.

The points $P$, $Q$, $R$ divide $AD$, $BE$, $CF$ respectively in the same ratio $k:1$ and $P$, $Q$, $R$ are collinear. Find the value of $k$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti collineari che dividono ceviani paralleli in rapporto k:1; trovare k

Tre linee parallele $AD$, $BE$ e $CF$ sono tracciate attraverso le vertici del triangolo $ABC$ che si incontrano sui lati opposti rispettivamente in $D$, $E$ e $F$.

I punti $P$, $Q$, $R$ dividono $AD$, $BE$, $CF$ rispettivamente nello stesso rapporto $k:1$ e $P$, $Q$, $R$ sono collineari. Trova il valore di $k$.

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Find a so the limit of g(a)/f(a) equals 1/2

For any positive integer $m$ you are given that $1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{1}\right)\cos \theta +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{2}\right)\cos 2\theta +\dots +\cos 2m\theta ={\left(2\cos \frac{1}{2}\theta \right)}^{2m}\cos m\theta$ where there are $2m+1$ terms on the left hand side. The function $f(\theta )$ is defined by either of these expressions. The function $g(\theta )$ is defined by $g(\theta )=1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{1}\right)\cos 2\theta +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{2}\right)\cos 4\theta +\dots +\cos 2m\theta .$ Given that there is no rational $k$ for which $a=k\pi$ find the values of $a$ for which ${\lim }_{m\to \infty }\frac{g(a)}{f(a)}=\frac{1}{2}.$

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca a così il limite di g(a)/f(a) è uguale a 1/2

Per ogni intero positivo $m$ viene data quella $1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{1}\right)\cos \theta +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{2}\right)\cos 2\theta +\dots +\cos 2m\theta ={\left(2\cos \frac{1}{2}\theta \right)}^{2m}\cos m\theta$ dove ci sono termini $2m+1$ sul lato sinistro. La funzione $f(\theta )$ è definita da una di queste espressioni. La funzione $g(\theta )$ è definita da $g(\theta )=1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{1}\right)\cos 2\theta +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{2}\right)\cos 4\theta +\dots +\cos 2m\theta .$ Dato che non esiste un $k$ razionale per il quale $a=k\pi$ trova i valori di $a$ per il quale ${\lim }_{m\to \infty }\frac{g(a)}{f(a)}=\frac{1}{2}.$

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Prove an inequality between two rational functions of x and y

Prove that if $n$ is an integer greater than $1$ and $x>y>1$, then $\frac{x^{n+1}-1}{x(x^{n-1}-1)}>\frac{y^{n+1}-1}{y(y^{n-1}-1)}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove una disuguaglianza tra due funzioni razionali di x e y

Prova che se $n$ è un numero intero superiore a $1$ e $x>y>1$, allora $\frac{x^{n+1}-1}{x(x^{n-1}-1)}>\frac{y^{n+1}-1}{y(y^{n-1}-1)}.$

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Prove uniqueness of reals satisfying a sum-of-squares identity

Prove that there is only one set of real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ such that $(1-x_1{)}^2+(x_1-x_2{)}^2+\dots +(x_{n-1}-x_n{)}^2+x_n^2=\frac{1}{n+1}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove l’unicità dei reali che soddisfano un’identità di somma di quadrati

Prove che esiste solo un insieme di numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_n$ tale che $(1-x_1{)}^2+(x_1-x_2{)}^2+\dots +(x_{n-1}-x_n{)}^2+x_n^2=\frac{1}{n+1}.$

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Fraction of conical wine glass occupied by water when tilted

The interior of a wine glass is a right circular cone. The glass is half filled with water and then slowly tilted so that the water starts and continues to spill from a point $P$ on the rim. What fraction of the whole conical interior is occupied by water when the horizontal plane of the water level bisects the generator of the cone furthest from $P$?

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Fraczione di vetro di vino conico occupato dall’acqua quando inclinato

L’interno di un bicchiere di vino è un cono a destra circolare. Il bicchiere è a metà riempito di acqua e poi lentamente inclinato in modo che l’acqua inizi e continui a scorrere da un punto $P$ sul bordo. Quale frazione dell’intero interno conico è occupata dall’acqua quando il piano orizzontale del livello dell’acqua divide il generatore del cono più lontano da $P$?

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