British Mathematical Olympiad 1974-75 — Round 2

Real function with f(x-y)=f(x)-f(y)+bxy; continuity and differentiability

In this question a “real function” means a function $f$ such that $f(x)$ exists and is real for all real numbers $x$.

(i) Show that there is only one value of the constant $b$ for which a real function $f$ exists with the property that, for all real $x$ and $y$, $f(x-y)=f(x)-f(y)+bxy$ where $b$ is a constant.

(ii) A real function $f$ has the property that for all real $x$ and $y$ $f(x-y)=f(x)-f(y)+cxy$ where $c$ is a constant.

(a) Prove that if $f$ is continuous at $x=0$ then it is continuous everywhere.

(b) Prove that if $f$ is differentiable everywhere, and find the most general $f$ in this case.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione reale con f(x-y)=f(x)-f(y) + bxy; continuità e differenziabilità

In questa domanda una “funzione reale” significa una funzione $f$ tale che $f(x)$ esista ed è reale per tutti i numeri reali $x$.

(i) Indicare che esiste solo un valore della costante $b$ per la quale esiste una funzione reale $f$ con la proprietà che, per tutte le realtà $x$ e $y$, $f(x-y)=f(x)-f(y)+bxy$ dove $b$ è una costante.

(ii) Una funzione reale $f$ ha la proprietà che per tutte le funzioni reali $x$ e $y$ $f(x-y)=f(x)-f(y)+cxy$ dove $c$ è una costante.

(a) dimostrare che se $f$ è continuo a $x=0$ allora è continuo ovunque.

b) dimostrare che se $f$ è differenziabile ovunque, e trovare il $f$ più generale in questo caso.

src_bmo_1974-75_round2__Q01

Positive integers not in a given infinite set are sums of consecutive positive integers

Prove that every positive integer which is not a member of the infinite set $3,2^2\cdot 3,2^4\cdot 3,\dots ,2^{2k}\cdot 3,\dots$ is equal to the sum of two or more consecutive positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I numeri interi positivi non presenti in un dato insieme infinito sono le somme di numeri interi positivi consecutivi

Dimostra che ogni intero positivo che non è un membro dell’insieme infinito $3,2^2\cdot 3,2^4\cdot 3,\dots ,2^{2k}\cdot 3,\dots$ è uguale alla somma di due o più interi positivi consecutivi.

src_bmo_1974-75_round2__Q02

Probability room A fills with n contestants before room B

There are $n$ countries taking part in an international mathematical competition, with two contestants from each country. The competition is held in two rooms, $A$ and $B$. At the start of the competition the $2n$ contestants form a queue, in any order. The contestant at the head of the queue enters room $A$. Each subsequent contestant goes first to the door of the room which his immediate predecessor in the queue entered, and looks in. If there are fewer than $n$ people already in the room he enters it; otherwise he enters the other room. (So competitors from the same country are separated.) All orders of the queue are equally likely. Determine with proof the probability that room $A$ is filled with $n$ contestants before room $B$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La sala di probabilità A si riempie di n concorrenti prima della sala B

Ci sono paesi che partecipano a un concorso internazionale di matematica, con due concorrenti di ciascun paese. Il concorso si svolge in due sale, $A$ e $B$. All’inizio del concorso i concorrenti $2n$ formano una coda, in qualsiasi ordine. Il concorrente in prima fila entra nella stanza $A$. Ogni concorrente successivo va prima alla porta della stanza che il suo immediato predecessore nella coda è entrato, e guarda in. Se nella stanza ci sono già meno di $n$ persone, entra; altrimenti entra nell’altra stanza. Tutti gli ordini della coda sono uguali. Determinare con prova la probabilità che la stanza $A$ sia riempita di concorrenti $n$ prima della stanza $B$.

src_bmo_1974-75_round2__Q03

12 equal circles on a sphere: three groups touching 3, 4, or 5 others

The diagram illustrates a configuration of 12 circles. The set $S$ of 12 circles contains three subsets $S_3$, $S_4$, $S_5$ each having 4 circles and such that each of the 4 circles of $S_r$ touches $r$ circles of $S$.

Prove that such a configuration of 12 circles exists on the surface of a sphere with all the 12 circles having equal radii.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

12 cerchi uguali su una sfera: tre gruppi che toccano altri 3, 4 o 5

Il diagramma illustra una configurazione di 12 cerchi. L’insieme $S$ di 12 cerchi contiene tre sottoinsiemi $S_3$, $S_4$, $S_5$, ognuno di cui ha 4 cerchi e in modo tale che ciascuno dei 4 cerchi di $S_r$ tocchi $r$ cerchi di $S$.

Prova che una tale configurazione di 12 cerchi esiste sulla superficie di una sfera con tutti i 12 cerchi con uguali raggi.

src_bmo_1974-75_round2__Q04