Shortest straight line bisecting triangle area; show non-straight is shorter
Find, with proof, the length of the shortest straight line which bisects the area of an arbitrarily given triangle. Express in terms of the area of the triangle and one of its angles.
Show that there is a shorter line (not straight) which bisects the area of the given triangle.
Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
L’area del triangolo di intersezione della linea retta più corta; mostra che la linea non retta è più corta
Trova, con prova, la lunghezza della linea retta più corta che divide l’area di un triangolo arbitrariamente dato. Esprimere in termini di superficie del triangolo e di uno dei suoi angoli.
Mostra che esiste una linea più breve (non retta) che divide l’area del triangolo dato.
Prove inequality sum of x/(y+z) >= 3/2 for positive reals
Prove that if are positive real numbers then
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Prove la somma delle disuguaglianze di x/(y+z) >= 3/2 per i reali positivi
Dimostra che se sono numeri reali positivi allora
Find 5-element subset meeting each of 50 large subsets of finite set
are subsets of a finite set . Each subset contains more than half the elements of .
Show that it is possible to find a subset of , having not more than elements, such that each () has an element in common with .
Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Ricerca un sottoinsieme di 5 elementi che riunisce ciascuno dei 50 grandi sottoinsiemi di un insieme finito
sono sottoinsiemi di un insieme finito . Ogni sottoinsieme contiene più della metà degli elementi di .
Mostrare che è possibile trovare un sottoinsieme di , contenente non più di elementi, in modo tale che ogni () abbia un elemento in comune con .
Prove 19 times 8^n + 17 is composite for all non-negative integers n
Prove that if is a non-negative integer then is not a prime number.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Prova che 19 per 8^n + 17 è composto per tutti gli integri non negativi n
Prova che se è un intero non negativo, allora non è un numero primo.
Prove identity involving binomial coefficients and powers of two reals
Prove that if and are real numbers, and are positive integers with , where denotes the coefficient of in the expansion of .
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Prova l’identità che coinvolge i coefficienti binomiali e le potenze di due reali
Prova che se e sono numeri reali, e sono numeri interi positivi con , dove indica il coefficiente di nell’espansione di .
Shortest path over cone and sphere surfaces; prove length of VP
A sphere with centre and radius is cut in a circle by a horizontal plane distant above . The part of the sphere above the plane is removed and replaced by a right circular cone having as its base and having its vertex at a distance vertically above .
is a point on the sphere on the same horizontal level as . The plane cuts the circle in two points and , of which is the further from . is a point of the cone lying on , whose position can be determined by the fact that the shortest path from to over the surfaces of cone and sphere cuts the circle at an angle of .
Prove .
[In a spherical triangle the sides are arcs of great circles (centre ) and the sides are measured by the angles they subtend at . You may find these spherical triangle formulae useful:
Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Costo percorso sulle superfici di cono e sfere; prova la lunghezza di VP
Una sfera con centro e raggio è tagliata in un cerchio da un piano orizzontale distante sopra . La parte della sfera sopra il piano viene rimossa e sostituita da un cono circolare destro con la base e il vertice a una distanza verticalmente sopra .
è un punto sulla sfera sullo stesso livello orizzontale di . Il piano taglia il cerchio in due punti e , di cui è il più lontano da . è un punto del cono che si trova su , la cui posizione può essere determinata dal fatto che il percorso più breve da a sulle superfici del cono e della sfera taglia il cerchio ad un angolo di .
Provare .
[In un triangolo sferico i lati sono archi di grandi cerchi (centro ) e i lati sono misurati dagli angoli che essi sottendono a . Potresti trovare utili queste formule triangolari sferiche: