British Mathematical Olympiad 1975-76 — Round 2

Prove a ratio sum is constant for point in triangle

Through a point $P$ in the interior of a fixed triangle $ABC$ lines $PL$, $PM$, $PN$ are drawn parallel to the medians through $A$, $B$, $C$ respectively to meet $BC$, $CA$, $AB$ at $L$, $M$, $N$ respectively. Prove that $\frac{BL}{BC}+\frac{CM}{CA}+\frac{AN}{AB}$ is constant (independent of $P$).

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che la somma del rapporto è costante per il punto nel triangolo

Attraverso un punto $P$ all’interno di un triangolo fisso $ABC$ le linee $PL$, $PM$, $PN$ sono disegnate parallele alle medie rispettivamente attraverso $A$, $B$, $C$ per raggiungere $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente a $L$, $M$ e $N$. Provare che $\frac{BL}{BC}+\frac{CM}{CA}+\frac{AN}{AB}$ è costante (indipendente da $P$).

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Root of real equation lies in given interval

The real number $t$ is a root of the equation $x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0,(n\ge 2),$ where the coefficients are real and satisfy $-1\le a_k\le 1$, $(2\le k\le n)$.

Prove that $-(1+\sqrt{5})\le t\le \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}).$

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La radice dell’equazione reale si trova in un intervallo dato

Il numero reale $t$ è una radice dell’equazione $x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0,(n\ge 2),$ dove i coefficienti sono reali e soddisfano $-1\le a_k\le 1$, $(2\le k\le n)$.

Provare che $-(1+\sqrt{5})\le t\le \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}).$

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Quadratic form has only trivial integer solution; cubic has infinitely many

Prove that the equation $x^2-3y^2-3z^2+7t^2=0$ has no solutions in integers other than $x=y=z=t=0$.

Prove that $x^3-3y^3-3z^3+7t^3=0$ has infinitely many solutions in positive integers $x_0,y_0,z_0,t_0$ in no two of which the ratio $x:y:z:t$ is the same.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La forma quadrata ha solo una soluzione di numeri interi triviali; il cubo ha infiniti

Prova che l’equazione $x^2-3y^2-3z^2+7t^2=0$ non ha soluzioni in numeri interi diversi da $x=y=z=t=0$.

Prove che $x^3-3y^3-3z^3+7t^3=0$ ha infinite soluzioni in numeri interi positivi $x_0,y_0,z_0,t_0$ in nessuno dei quali il rapporto $x:y:z:t$ sia lo stesso.

src_bmo_1975-76_round2__Q03

No positive integers p,q with |sqrt(2)-p/q| ≤ 1/(4q²)

Prove that it is not possible to find positive integers $p$ and $q$ with the property that $\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\le \frac{1}{4q^2}.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Non ci sono numeri interi positivi p,q con ➡️

Prove che non è possibile trovare integri positivi $p$ e $q$ con la proprietà che $\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|\le \frac{1}{4q^2}.$

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Figure-of-eight curve with two hexagons properties

A ‘figure-of-eight’ curve, $S$, consists of two touching circles of equal radii. Show that a pair of two distinct congruent hexagons (not necessarily convex) exists with the following properties:

(a) All the vertices of the hexagons lie on $S$.

(b) Each hexagon has all its vertices on one circle.

(c) Neither hexagon can be obtained from the other by a single translation, a single rotation or a single reflection.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Figura di otto curve con due proprietà esagoniche

Una curva di “figure di otto”, $S$, è costituita da due cerchi che si toccano di uguali radii. Mostrare che esiste una coppia di due esagoni congruenti distinti (non necessariamente convexi) con le seguenti proprietà:

(a) Tutti i vertici degli esagoni si trovano su $S$.

b) Ogni esagono ha tutti i suoi vertici su un cerchio.

(c) Nessun esagono può essere ottenuto dall’altro con una singola traduzione, una singola rotazione o un singolo riflesso.

src_bmo_1975-76_round2__Q05