British Mathematical Olympiad 1976-77 — Round 1

Additive function vanishing on digit-3 and at 10; prove f identically 0

A non-negative integer $f(n)$ is assigned to each positive integer $n$ in such a way that the following conditions are satisfied: (i) $f(mn)=f(m)+f(n)$ for all positive integers $m,n$; (ii) $f(n)=0$ whenever the final (right-hand) decimal digit of $n$ is $3$; and (iii) $f(10)=0$. Prove that $f(n)=0$ for all positive integers $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Equazioni funzionali Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Fonzione additiva che scompare al numero 3 e al numero 10; prova f identicamente 0

Un intero non negativo $f(n)$ è assegnato a ogni intero positivo $n$ in modo tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni: (i) $f(mn)=f(m)+f(n)$ per tutti gli integri positivi $m,n$; (ii) $f(n)=0$ quando la cifra decimale finale (a destra) di $n$ è $3$; e (iii) $f(10)=0$. Prove che $f(n)=0$ per tutti i numeri interi positivi $n$.

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Incircle of triangle: centre lies on midline joining midpoints of BC and AX

The sides $BC$, $CA$, $AB$ of a triangle touch a circle at $X$, $Y$, $Z$ respectively. Prove that the centre of the circle lies on the straight line through the midpoints of $BC$ and of $AX$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo di triangolo: il centro si trova sulla linea centrale che unisce i punti medi di BC e AX

I lati $BC$, $CA$ e $AB$ di un triangolo toccano un cerchio rispettivamente a $X$, $Y$ e $Z$. Prova che il centro del cerchio si trova sulla linea retta attraverso i punti di mezzo di $BC$ e di $AX$.

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Schur-type inequality and a sixth-degree symmetric inequality

(i) Prove that if $x$, $y$, $z$ are non-negative real numbers, then $x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\ge 0.$ (ii) Hence or otherwise show that for all real numbers $a$, $b$, $c$ $a^6+b^6+c^6+3a^2{b}^2{c}^2\ge 2(b^3{c}^3+c^3{a}^3+a^3{b}^3).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Scur-tipo di disuguaglianza e una disuguaglianza simmetrica di sesto grado

(i) Dimostra che se $x$, $y$, $z$ sono numeri reali non negativi, allora $x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\ge 0.$ (ii) Dimostra quindi o altrimenti che per tutti i numeri reali $a$, $b$, $c$ $a^6+b^6+c^6+3a^2{b}^2{c}^2\ge 2(b^3{c}^3+c^3{a}^3+a^3{b}^3).$

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Cubic with roots u,v,w; express roots of related cubic and exclude interval

The equation $x^3+qx+r=0$, where $r\ne 0$, has roots $u,v,w$. Express the roots of $r^2{x}^3+q^{3}x+q^3=0\dots \dots (1)$ in terms of $u,v,w$, and show that if $u,v,w$ are real then $(1)$ has no root in the interval $-1<x<3$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Cubico con radici u,v,w; radici espresse di relative radici cubiche ed esclusi intervalli

L’equazione $x^3+qx+r=0$, dove $r\ne 0$, ha radici $u,v,w$. Esprimere le radici di $r^2{x}^3+q^{3}x+q^3=0\dots \dots (1)$ in termini di $u,v,w$ e mostrare che se $u,v,w$ sono reali allora $(1)$ non ha radice nell’intervallo $-1<x<3$.

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Five equal spheres on a regular pentagon; do two tangent spheres meet?

$A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$ is a regular pentagon whose sides are each of length $2a$. For each $i=1,2,\dots ,5$, $K_i$ is the sphere with centre $A_i$ and radius $a$. The spheres $K_1,K_2,\dots ,K_5$ are all touched externally by each of two spheres $P_1$ and $P_2$ also of radius $a$. Determine with proof and without tables whether $P_1$ and $P_2$ have or have not a common point.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

5 sfere uguali su un pentagono regolare; due sfere tangenti si incontrano?

$A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$ è un pentagono regolare i cui lati sono di lunghezza $2a$. Per ogni $i=1,2,\dots ,5$, $K_i$ è la sfera con centro $A_i$ e raggio $a$. Le sfere $K_1,K_2,\dots ,K_5$ sono tutte toccate esternamente da ciascuna delle due sfere $P_1$ e $P_2$ anche di raggio $a$. Determinare con la prova e senza tabelle se $P_1$ e $P_2$ hanno o non hanno un punto comune.

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Decompose 26(x+…+x^n) as sum of permutation polynomials; find all n

The polynomial $26(x+x^2+x^3+\cdots +x^n)$, where $n>1$, is to be decomposed into a sum of polynomials, not necessarily all different. Each of these polynomials is to be of the form $a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n$ where each $a_i$ is one of the numbers $1,2,3,\dots ,n$ and no two $a_i$ are equal. Find all the values of $n$ for which this decomposition is possible.

Topic: Combinatoria, Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Decomponere 26(x+…+x^n) come somma di polinomi di permutazione; trovare tutti n

Il polinomio $26(x+x^2+x^3+\cdots +x^n)$, dove $n>1$, deve essere decomposto in una somma di polinomi, non necessariamente tutti diversi. Ciascuno di questi polinomi deve avere la forma $a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n$ dove ogni $a_i$ è uno dei numeri $1,2,3,\dots ,n$ e non sono uguali due $a_i$. Trova tutti i valori di $n$ per i quali è possibile questa decomposizione.

src_bmo_1976-77_round1__Q06