Bound quadratic on interval given values at n points
are given points of the interval such that The quadratic function , of the form where , , are real constants, satisfies the condition Prove that for all in . Show by means of an example that this proposition becomes false if is replaced by any smaller number.
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Quadratico di confine su intervalli dati a n punti
vengono dati punti dell’intervallo in modo tale che La funzione quadrata , della forma in cui , , sono costanti reali, soddisfi la condizione Prove che per tutti in . Mostra con un esempio che questa proposizione diventa falsa se viene sostituita da un numero più piccolo.
Pyramid with inscribed circles of adjacent faces touching; prove contact points on circle
A pyramid is formed by joining the vertices of a plane quadrilateral , the “base”, to the point outside its plane. It is found that the inscribed circles of each pair of adjacent triangular faces touch each other. Prove that the points of contact of the inscribed circles with the base of the pyramid lie on a circle.
Topic: Geometria piana, Geometria solida Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Piramida con cerchi incisi di facce adiacenti che si toccano; prova i punti di contatto sul cerchio
Una piramide si forma unendo le vertici di un quadrilaterale piano , la “base”, al punto al di fuori del suo piano. Si scopre che i cerchi incisi di ciascun paio di facce triangolari adiacenti si toccano. Prove che i punti di contatto dei cerchi incisi con la base della piramide si trovano su un cerchio.
Either solve linear Diophantine equation or prove AP has infinite subset with same prime divisors
EITHER (a) Prove that if is any given integer then the equation has a solution in integers , , .
OR (b) Prove that in the arithmetic progression where , are positive integers, there exists an infinite set of terms having the same prime divisors.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
O risolvi l’equazione diofantina lineare o prova che AP ha un sottoinsieme infinito con gli stessi divisori primari
EITHER (a) Prova che se è un dato numero intero, allora l’equazione ha una soluzione in numeri interi , , .
O (b) Prova che nella progressione aritmetica dove , sono interi positivi, esiste un insieme infinito di termini con gli stessi divisori primi.
Construct necklace of 2n beads in 2n colours covering all colour pairs
Prove that for each integer it is possible to construct a necklace having beads in all, these being of different colours, in such a way that for each pair of different colours there is at least one pair of adjacent beads of these two colours. Is it possible to do the same using beads in all? Give a reason for your answer. (A “necklace” is a circular arrangement of beads, with no fastener intervening; an ample supply of beads of all colours is assumed to be available.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Construire un colletto di 2 perle in 2 colori che coprono tutte le coppie di colori
Prove che per ogni numero intero è possibile costruire un collare con perle in tutto, essendo di diversi colori, in modo tale che per ogni coppia di colori diversi vi sia almeno un paio di perle adiacenti di questi due colori. È possibile fare lo stesso utilizzando perle in tutto? Datemi una ragione per la vostra risposta. (Un “colletto” è un’impostazione circolare di perle, senza alcun attaccamento; si presume che sia disponibile un ampio approvvigionamento di perle di tutti i colori.)