British Mathematical Olympiad 1977-78 — Round 1

Find point P inside triangle maximising product of distances to sides

Determine the point $P$ inside a triangle $ABC$ for which the product $PL\cdot PM\cdot PN$ is a maximum, where $L$, $M$, $N$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $BC$, $CA$, $AB$ respectively.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trovare il punto P all’interno del triangolo massimizzando il prodotto delle distanze verso i lati

Determinare il punto $P$ all’interno di un triangolo $ABC$ per il quale il prodotto $PL\cdot PM\cdot PN$ è un massimo, dove $L$, $M$, $N$ sono i piedi delle perpendicolari da $P$ a $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente.

src_bmo_1977-78_round1__Q01

Prove no rational with denominator ≤100 has decimal block 167 in ten consecutive digits

Prove that there is no rational number $\frac{p}{q}$, with denominator $q\le 100$, whose decimal expansion contains the block of consecutive digits $167$ in ten consecutive digits.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove non razionale con denominatore ≤100 ha blocco decimale 167 in dieci cifre consecutive

Prova che non esiste un numero razionale $\frac{p}{q}$, con denominatore $q\le 100$, la cui espansione decimale contiene il blocco di cifre consecutive $167$ in dieci cifre consecutive.

src_bmo_1977-78_round1__Q02

Show sequence u_n has one and only one solution with u_1 < u_2

Show that there is one and only one sequence $\{u_n\}$ of integers such that $u_1<u_2$ and $u_n^2+1=u_{n-1}\cdot u_{n+1}\text{for all }n>1.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra che la sequenza u_n ha una sola soluzione con u_1 < u_2

Mostrare che esiste una sola e unica sequenza $\{u_n\}$ di integri come $u_1<u_2$ e $u_n^2+1=u_{n-1}\cdot u_{n+1}\text{for all }n>1.$

src_bmo_1977-78_round1__Q03

Prove altitudes of tetrahedron concurrent iff opposite edges perpendicular

An altitude of a tetrahedron is a line through a vertex perpendicular to the opposite face.

Prove that the four altitudes of a tetrahedron are concurrent if and only if each edge of the tetrahedron is perpendicular to its opposite edge.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove le altitudini di tetraedro concomitanti se i bordi opposti sono perpendicolari

Un’altitudine di un tetraedro è una linea attraverso un vertice perpendicolare alla faccia opposta.

Prova che le quattro altitudini di un tetraedro sono simultanee se e solo se ogni bordo del tetraedro è perpendicolare al suo bordo opposto.

src_bmo_1977-78_round1__Q04

Inside a 15-unit cube, find least 6 points with unit radius sphere covering all

Inside a cube of side 15 units there are 11000 given points.

Prove that there is a sphere of unit radius within which there are at least 6 of the given points.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

All’interno di un cubo di 15 unità, trovare almeno 6 punti con sfera di raggio unitario che copra tutti

All’interno di un cubo di 15 unità laterali ci sono 11000 punti dati.

Prove che esiste una sfera di raggio unitario all’interno della quale ci sono almeno 6 dei punti dati.

src_bmo_1977-78_round1__Q05

Show 2cosθ is polynomial in 2cos(θ/n); prove rationality or irrationality

Show that if $k$ is a non-zero integer, $2\cos k\theta$ is a polynomial in $2\cos \theta$ of degree $k$ in $2\cos \theta$.

Hence or otherwise prove that if $k$ is rational then $2\cos k\theta$ is either equal to one of the numbers $0,\pm 1,\pm 2$, or is irrational.

Topic: Trigonometria, Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra che 2cosθ è polinomio in 2cos(θ/n); prova la razionalità o l’irrazionalità

Mostra che se $k$ è un intero non zero, $2\cos k\theta$ è un polinomio in $2\cos \theta$ di grado $k$ in $2\cos \theta$.

Quindi o altrimenti dimostrare che se $k$ è razionale allora $2\cos k\theta$ è uguale a uno dei numeri $0,\pm 1,\pm 2$, o è irrazionale.

src_bmo_1977-78_round1__Q06