British Mathematical Olympiad 1978-79 — Round 1

Find triangles ABC with AB+AC=2 and altitude AD=sqrt(AB·AC)

Find all triangles $ABC$ for which $AB+AC=2\text{ cm}\text{and}AD=\sqrt{AB\cdot AC}\text{ cm},$ where $AD$ is the altitude from $A$, meeting $BC$ at right angles in $D$.

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Trova i triangoli ABC con AB+AC=2 e altitudine AD=sqrt(AB·AC) *

Trovare tutti i triangoli $ABC$ per i quali $AB+AC=2\text{ cm}\text{and}AD=\sqrt{AB\cdot AC}\text{ cm},$ dove $AD$ è l’altitudine da $A$, incontrando $BC$ ad angoli retti in $D$.

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Three rays from O in 3-space; find points with equal-perimeter triangles and express OX

From a point $O$ in $3$-space, three rays $OA$, $OB$, $OC$ emerge, the angles $BOC$, $COA$, $AOB$ being $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ respectively.

Prove that, for any $2n>0$, there exist points $X$, $Y$, $Z$ on $OA$, $OB$, $OC$ respectively such that the triangles $YOZ$, $ZOX$ and $XOY$ all have the same perimeter $2n$, and express $OX$ in terms of $n$, $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$ simply.

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre raggi da O nello spazio 3; trovare punti con triangoli di perimetro uguale e esprimere OX

Da un punto $O$ nello spazio $3$ emergono tre raggi $OA$, $OB$, $OC$, gli angoli $BOC$, $COA$, $AOB$ sono $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ rispettivamente.

Prove che, per qualsiasi $2n>0$, esistono punti $X$, $Y$, $Z$ su $OA$, $OB$, $OC$ rispettivamente in modo tale che i triangoli $YOZ$, $ZOX$ e $XOY$ abbiano tutti lo stesso perimetro $2n$, ed esprimere semplicemente $OX$ in termini di $n$, $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$.

src_bmo_1978-79_round1__Q02

Distinct odd positive integers with distinct pairwise differences; prove sum lower bound

$S$ is a set of distinct positive odd integers $\{a_i\}$, $i=1$ to $n$. No two differences $|a_i-a_j|$ are equal, $1\le i<j\le n$.

Prove that ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\ge \frac{1}{3}n(n^2+2).$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Conteggio, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Differenti integri positivi dispari con differenze paritarie distinte; dimostrare la somma del limite inferiore

$S$ è un insieme di diversi integri unici positivi $\{a_i\}$, $i=1$ a $n$. Nessuna differenza $|a_i-a_j|$ è uguale a $1\le i<j\le n$.

Provare che ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\ge \frac{1}{3}n(n^2+2).$

src_bmo_1978-79_round1__Q03

Rational-valued function satisfying f(x+f(y))=f(f(x))+f(y); prove f is constant

The function $f$ is defined on the rational numbers and takes only rational values. For all rational $x$ and $y$, $f(x+f(y))=f(f(x))+f(y).$

Prove that $f$ is constant.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Backward, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione a valore razionale che soddisfa f(x+f(y))=f(f(x))+f(y); prova che f è costante

La funzione $f$ è definita sui numeri razionali e assume solo valori razionali. Per tutti i $x$ e $y$ razionali, $f(x+f(y))=f(f(x))+f(y).$

Provare che $f$ è costante.

src_bmo_1978-79_round1__Q04

Partition function p(n); prove p(n+1)-2p(n)+p(n-1)>=0 for n>1

For a positive integer $n$, let $p(n)$ be the number of ways of expressing $n$ as the sum of one or more positive integers. For example, $p(5)=5$, because there are $5$ different sums, namely $1+1+1+1+1$, $1+1+1+2$, $1+1+3$, $1+4$, $2+2+1$.

Prove that for $n>1$, $p(n+1)-2p(n)+p(n-1)\ge 0.$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Ricorsione, Disuguaglianze Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Funzione di partizione p(n); prova p(n+1)-2p(n)+p(n-1)>=0 per n>1

Per un intero positivo $n$, $p(n)$ è il numero di modi di esprimere $n$ come la somma di uno o più integri positivi. Per esempio, $p(5)=5$, perché ci sono $5$ somme diverse, vale a dire $1+1+1+1+1$, $1+1+1+2$, $1+1+3$, $1+4$, $2+2+1$.

Prova che per $n>1$, $p(n+1)-2p(n)+p(n-1)\ge 0.$

src_bmo_1978-79_round1__Q05

Infinite sequence 1001,100010001,…; prove no prime divides all terms

Consider the infinite sequence of integers $1001,100010001,1000100010001,\dots$ where each integer after the first is obtained by adjoining $0001$ to the digits of the previous integer.

Prove that there is no prime number that divides all the integers in the sequence.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza infinita 1001,100010001,…; dimostrare che non esiste una prima che divida tutti i termini*

Considera la sequenza infinita di numeri interi $1001,100010001,1000100010001,\dots$ dove ogni numero intero dopo il primo viene ottenuto adiacendo $0001$ ai numeri del numero intero precedente.

Prove che non esiste un numero primo che divida tutti i numeri interi della sequenza.

src_bmo_1978-79_round1__Q06