British Mathematical Olympiad 1978-79 — Round 2

Prove inequality for four distinct positive reals with interleaving condition

$a$, $b$, $c$, $d$ are different positive real numbers. Prove that if at least one of the numbers $a$ and $b$ lies between the numbers $c$ and $d$, or at least one of the numbers $c$ and $d$ lies between the numbers $a$ and $b$, then $(\ast )\sqrt{(a+b)(c+d)}>\sqrt{ac}+\sqrt{bd}.$ Otherwise show that the four numbers can be chosen so that $(\ast )$ is false.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimprovare la disuguaglianza di quattro reali positivi distinti con condizione di interlascio

$a$, $b$, $c$, $d$ sono diversi numeri reali positivi. Prove che se almeno uno dei numeri $a$ e $b$ si trova tra i numeri $c$ e $d$, o almeno uno dei numeri $c$ e $d$ si trova tra i numeri $a$ e $b$, allora $(\ast )\sqrt{(a+b)(c+d)}>\sqrt{ac}+\sqrt{bd}.$ dimostra altrimenti che i quattro numeri possono essere scelti in modo tale che $(\ast )$ sia falso.

src_bmo_1978-79_round2__Q01

Two equilateral triangles with common vertex; prove two triangles similar

Two equilateral triangles have a common vertex $C$. Going round each triangle in the anti-clockwise direction the vertices are lettered $C$, $A$, $B$ and $C$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$. $O$ is the centre of triangle $CAB$ and neither $A^{\prime }$ nor $B^{\prime }$ coincides with $O$. $M$ is the midpoint of $A{B}^{\prime }$. Prove that triangles $C{B}^{\prime }O$ and $C{A}^{\prime }M$ are similar.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due triangoli equilaterali con vertice comune; dimostrare due triangoli simili

Due triangoli equilaterali hanno un vertice comune $C$. Attorno a ciascun triangolo in direzione contraria al senso orario, i vertici sono scritti $C$, $A$, $B$ e $C$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$. $O$ è il centro del triangolo $CAB$ e né $A^{\prime }$ né $B^{\prime }$ coincidono con $O$. $M$ è il punto medio di $A{B}^{\prime }$. Prove che i triangoli $C{B}^{\prime }O$ e $C{A}^{\prime }M$ sono simili.

src_bmo_1978-79_round2__Q02

Sequence defined by floor of average of all previous terms; find $a_{1979}$

Consider the sequence $a_n$ ($n\ge 1$) defined by $a_1=1979,a_{n+1}=\left[\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_n)\right](n\ge 1),$ where $[x]$ denotes the greatest integer not greater than $x$. (For example $[3]=3$ and $[5]=5$.) Determine $a_{1979}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza definita in base alla media di tutti i termini precedenti; trovare $a_{1979}$

Considera la sequenza $a_n$ ($n\ge 1$) definita da $a_1=1979,a_{n+1}=\left[\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_n)\right](n\ge 1),$ dove $[x]$ indica il numero intero più grande non superiore a $x$. (ad esempio $[3]=3$ e $[5]=5$.) Determinare $a_{1979}$.

src_bmo_1978-79_round2__Q03

Prove binary-expansion alternating sum equals $(-1{)}^{n}n!$

Let $b(k)$ denote the number of $1$‘s in the binary expansion of the non-negative integer $k$. For example $b(13)=3$ since $13$ is $1101$ in binary notation. Prove that for all positive integers $n$, ${\sum }_{k=0}^{2^n-1}(-1{)}^{b(k)}{k}^n=(-1{)}^n(n!).$

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Induzione, Doppio conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che la somma alternata di espansione binaria è uguale $(-1{)}^{n}n!$

$b(k)$ indichi il numero di $1$ nell’espansione binaria del numero intero non negativo $k$. Ad esempio $b(13)=3$ poiché $13$ è $1101$ in notazione binaria. Prova che per tutti gli integri positivi $n$, ${\sum }_{k=0}^{2^n-1}(-1{)}^{b(k)}{k}^n=(-1{)}^n(n!).$

src_bmo_1978-79_round2__Q04