British Mathematical Olympiad 1979-80 — Round 1

Prove no integer solution to $x^n+y^n=z^n$ with $0<x\le n$, $0<y\le n$

Prove that the equation $x^n+y^n=z^n$, where $n$ is an integer $>1$, has no solution in integers $x$, $y$, $z$, with $0<x\le n$, $0<y\le n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Non provare alcuna soluzione integrale a $x^n+y^n=z^n$ con $0<x\le n$, $0<y\le n$

Prova che l’equazione $x^n+y^n=z^n$, dove $n$ è un numero intero $>1$, non ha soluzione nei numeri interi $x$, $y$, $z$, con $0<x\le n$, $0<y\le n$.

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Find 7 consecutive integers with a degree-5 integer-coefficient polynomial vanishing on 5 of them

Find a set $S=\{n\}$ of 7 consecutive positive integers for which a polynomial $P(x)$ of the 5th degree exists with the following properties: (a) all the coefficients in $P(x)$ are integers; (b) $P(n)=n$ for 5 members of $S$, including the least and greatest; (c) $P(n)=0$ for one member of $S$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca 7 numeri interi consecutivi con un polinomio a coefficiente interi di grado-5 che scompare su 5 di essi

Trovare un insieme $S=\{n\}$ di 7 integri positivi consecutivi per i quali esiste un polinomio $P(x)$ del quinto grado con le seguenti proprietà: (a) tutti i coefficienti di $P(x)$ sono integri; (b) $P(n)=n$ per 5 membri di $S$, compresi i più piccoli e i più grandi; (c) $P(n)=0$ per un membro di $S$.

src_bmo_1979-80_round1__Q02

Square inscribed in semicircle; line through vertex and arc point passes through incenter of triangle

On the diameter $AB$ bounding a semi-circular region there are two points $P$ and $Q$, and on the semi-circular arc there are two points $R$ and $S$ such that $PQRS$ is a square. $C$ is a point on the semi-circular arc such that the areas of the triangle $ABC$ and the square $PQRS$ are equal.

Prove that a straight line passing through one of the points $R$ and $S$ and through one of the points $A$ and $B$ cuts a side of the square at the in-centre of the triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrato inserito in semicircolo; linea attraverso il vertice e il punto d’arco passa attraverso l’incentro del triangolo

Sul diametro $AB$ che confina una regione semicircolare ci sono due punti $P$ e $Q$, e sull’arco semicircolare ci sono due punti $R$ e $S$ in modo tale che $PQRS$ sia quadrato. $C$ è un punto dell’arco semicircolare tale che le superfici del triangolo $ABC$ e del quadrato $PQRS$ siano uguali.

Prova che una linea retta che attraversa uno dei punti $R$ e $S$ e uno dei punti $A$ e $B$ taglia un lato del quadrato al centro del triangolo.

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Find initial values $a_0$ making the recurrence $a_{n+1}=2^n-3a_n$ strictly increasing

Find the set of real numbers $a_0$ for which the infinite sequence $\{a_n\}$ of real numbers defined by $a_{n+1}=2^n-3a_n(n\ge 0)$ is strictly increasing, i.e. $a_n<a_{n+1}(n\ge 0).$

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca i valori iniziali $a_0$ che rendono la ricorrenza $a_{n+1}=2^n-3a_n$ in aumento *

Trova l’insieme dei numeri reali $a_0$ per i quali la sequenza infinita $\{a_n\}$ dei numeri reali definiti da $a_{n+1}=2^n-3a_n(n\ge 0)$ è strettamente in aumento, cioè $a_n<a_{n+1}(n\ge 0).$

src_bmo_1979-80_round1__Q04

Party of 10: any 3 contain 2 strangers; prove 4 mutual strangers exist

In a party of ten persons, among any three persons there are at least two who do not know each other. Prove that at the party there are four persons none of whom knows another of the four.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Partito di 10: ogni 3 contiene 2 estranei; dimostra l’esistenza di 4 reciproci estranei

In un gruppo di dieci persone, tra tutte e tre persone ci sono almeno due che non si conoscono. Prove che alla festa ci sono quattro persone, nessuna delle quali conosce un’altra delle quattro.

src_bmo_1979-80_round1__Q05