British Mathematical Olympiad 1979-80 — Round 2

Tetrahedra sharing a vertex; incentre equals centroid; compare volumes

$VLMN$ and $VABC$ are tetrahedra with $A$, $B$, $C$ on $VL$, $VM$, $VN$ produced as necessary. The in-centre of triangle $LMN$ coincides with the centroid of triangle $ABC$. (i) Determine $VA$, $VB$, $VC$ in terms of the sides of triangle $LMN$ and $VL$, $VM$, $VN$. (ii) Determine the condition that the tetrahedra have equal volumes. (iii) If the tetrahedra have unequal volumes, determine, with proof, which has the greater volume.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedri che condividono una vertice; centro uguale al centroide; confronta i volumi

$VLMN$ e $VABC$ sono tetraedri con $A$, $B$, $C$ su $VL$, $VM$, $VN$ prodotte se necessario. Il centro del triangolo $LMN$ coincide con il centroide del triangolo $ABC$. (i) Determinare $VA$, $VB$, $VC$ in termini di lati del triangolo $LMN$ e $VL$, $VM$, $VN$. (ii) Determinare la condizione che i tetraedri abbiano volumi uguali. (iii) Se i tetraedri hanno volumi diseguali, determinare, con la prova, quale ha il volume maggiore.

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Find all primes in a defined integer sequence

Determine, with proof, all the prime numbers in the sequence $\{u_n\}$ of integers defined by $u_0=2,u_1=a,u_{n+1}=a{u}_n-u_{n-1}(n\ge 0).$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri primi in una sequenza di numeri interi definita

Determinare, con prova, tutti i numeri primi della sequenza $\{u_n\}$ di numeri interi definiti da $u_0=2,u_1=a,u_{n+1}=a{u}_n-u_{n-1}(n\ge 0).$

src_bmo_1979-80_round2__Q02

Prove an inequality for real numbers with equality condition

Prove that if $a_0=0$, $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ are real numbers, then ${\sum }_{i=1}^n{a}_i(a_{i-1}-a_i)\le \frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^n(a_i-a_{i-1}{)}^2,$ equality holding if and only if $a_i=a_n$ $(0\le i\le n).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Dimostrare una disuguaglianza per i numeri reali con condizione di uguaglianza

Dimostra che se $a_0=0$, $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ sono numeri reali, allora ${\sum }_{i=1}^n{a}_i(a_{i-1}-a_i)\le \frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^n(a_i-a_{i-1}{)}^2,$ tenuta di uguaglianza se e solo se $a_i=a_n$ $(0\le i\le n).$

src_bmo_1979-80_round2__Q03

Bridge tournament: each pair are opponents exactly once

Given a set of $n$ people, it is desired to arrange a series of bridge games such that every two of the $n$ people play as opponents in exactly one game. Show that this can be done if and only if $n$ is of the form $n=4m+1$, where $m$ is a positive integer. (There is no restriction on the number of times, if any, two people play as partners.)

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Torneo di ponte: ogni coppia è avversaria esattamente una volta

Dato un insieme di persone $n$, è desideroso organizzare una serie di giochi di bridge in modo tale che ogni due persone $n$ giocino come avversari in esattamente una partita. Mostrare che questo può essere fatto se e solo se $n$ è di forma $n=4m+1$, dove $m$ è un intero positivo. (Non vi è alcuna limitazione sul numero di volte, se del caso, in cui due persone giocano come partner.)

src_bmo_1979-80_round2__Q04