British Mathematical Olympiad 1980-81 — Round 1

Circle centred at orthocentre cuts midpoint-triangle sides equally

$H$ is the orthocentre of triangle $ABC$. The midpoints of $BC$, $CA$, $AB$ are $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. A circle with centre $H$ cuts the sides of triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (produced if necessary) in six points, $Q_1$, $Q_2$ on $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $R_1$, $R_2$ on $C^{\prime }{A}^{\prime }$, $S_1$, $S_2$ on $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Prove that $A^{\prime }{Q}_1=A^{\prime }{Q}_2=B^{\prime }{R}_1=B^{\prime }{R}_2=C^{\prime }{S}_1=C^{\prime }{S}_2$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il cerchio centrato nell’ortocentro taglia uguale i lati del triangolo medio punto

$H$ è l’ortocentro del triangolo $ABC$. I punti intermedi di $BC$, $CA$, $AB$ sono $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. Un cerchio con centro $H$ taglia i lati del triangolo $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (prodotto se necessario) in sei punti: $Q_1$, $Q_2$ su $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $R_1$, $R_2$ su $C^{\prime }{A}^{\prime }$, $S_1$, $S_2$ su $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Prove che $A^{\prime }{Q}_1=A^{\prime }{Q}_2=B^{\prime }{R}_1=B^{\prime }{R}_2=C^{\prime }{S}_1=C^{\prime }{S}_2$.

src_bmo_1980-81_round1__Q01

Alternating sum of products of consecutive integers divisible by m!

$m$ and $n$ are positive integers. $S_n$ is the sum of $m$ terms of $[(n+1)(n+2)]-[(n+1)(n+2)(n+3)]+[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]-\cdots$ where the terms alternate in sign and each, after the first, is the product of consecutive integers with the number of integers one more than before.

Prove that $S_n$ is divisible by $m!$ but not necessarily by $(m+1)!$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa alternativa di prodotti di numeri interi consecutivi divisibili per m!

$m$ e $n$ sono integri positivi. $S_n$ è la somma dei termini $m$ di $[(n+1)(n+2)]-[(n+1)(n+2)(n+3)]+[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]-\cdots$ in cui i termini si alterano in segno e ciascuno, dopo il primo, è il prodotto di numeri interi consecutivi con il numero di numeri interi uno in più rispetto al precedente.

Provare che $S_n$ è divisibile da $m!$, ma non necessariamente da $(m+1)!$.

src_bmo_1980-81_round1__Q02

Bound on number of tetrahedra cut in quadrilaterals by a plane

$n$ points are given such that no four of them are coplanar. A plane does not pass through any of the $n$ points.

Prove that it cannot cut more than $\frac{n^2(n-2{)}^2}{64}$ of the tetrahedra (with vertices among the $n$ points) in quadrilaterals.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Ribbito al numero di tetraedri tagliati in quadrilaterali da un piano

I punti $n$ sono dati in modo tale che nessuno di essi sia coplanare. Un aereo non attraversa nessuno dei punti $n$.

Prova che non può tagliare più di $\frac{n^2(n-2{)}^2}{64}$ del tetraede (con vertici tra i punti $n$) in quadrilaterali.

src_bmo_1980-81_round1__Q03

Find smallest positive value of |128^m - 9^n|

Find, with proof, the smallest possible positive value of $|128^m-9^n|$, where $m$ and $n$ are positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

• Trova il minimo valore positivo di m - <128^> n *

Trova, con prova, il minimo possibile valore positivo di $|128^m-9^n|$, dove $m$ e $n$ sono interi positivi.

src_bmo_1980-81_round1__Q04

Sum of a_i^k / P_i over distinct nonzero integers is an integer

$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ are distinct non-zero integers. $P_k$ is the product of the $(n-1)$ factors $(a_1-a_k),(a_2-a_k),\dots ,(a_{k-1}-a_k),(a_{k+1}-a_k),\dots ,(a_n-a_k),$ the zero factor $(a_k-a_k)$ being excluded.

Prove that if $k$ is a non-negative integer, ${\sum }_{i=1}^n\frac{a_i^k}{P_i}$ is an integer.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La somma di a_i^k / P_i su diversi interi non-zero è un intero

$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ sono diversi numeri interi non zero. $P_k$ è il prodotto dei fattori $(n-1)$ $(a_1-a_k),(a_2-a_k),\dots ,(a_{k-1}-a_k),(a_{k+1}-a_k),\dots ,(a_n-a_k),$ che escludono il fattore zero $(a_k-a_k)$.

Prova che se $k$ è un intero non negativo, ${\sum }_{i=1}^n\frac{a_i^k}{P_i}$ è un intero.

src_bmo_1980-81_round1__Q05

Lagrange-interpolation identity: sum of 1/P_i is an integer

$a_1,a_2,\dots ,a_n$ are distinct non-zero integers. $P_i$ is the product of the $(n-1)$ factors $(a_j-a_i)$ for all $j\ne i$.

Prove that ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{P_i}$ is an integer.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Identità di interpolazione di larghezza: la somma di 1/P_i è un intero

$a_1,a_2,\dots ,a_n$ sono diversi enti non zero. $P_i$ è il prodotto dei fattori $(n-1)$ $(a_j-a_i)$ per tutti $j\ne i$.

Provare che ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{P_i}$ è un numero intero.

src_bmo_1980-81_round1__Q06