British Mathematical Olympiad 1981-82 — Round 1

Quadrilateral with given area relation is a square with O at centre

$PQRS$ is a quadrilateral of area $A$. $O$ is a point inside it. Prove that if $2A=O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2+O{S}^2$ then $PQRS$ is a square and $O$ is its centre.

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Estratto da scansione a bassa risoluzione — enunciato da verificare con la fonte.

Quadrilaterale con determinato rapporto di superficie è un quadrato con O al centro

$PQRS$ è un quadrilaterale di superficie $A$. $O$ è un punto all’interno di esso. Prova che se $2A=O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2+O{S}^2$ $PQRS$ è un quadrato e $O$ è il suo centro.

src_bmo_1981-82_round1__Q01

Multiple of 3 in base 2 with three 1s: digit counts in base 4

A multiple of $3$ when written in the scale of $2$ contains exactly three digits $1$. Prove that it contains at least six digits when written in the scale of $4$, and that if it contains exactly seven digits in this scale, then it is even.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estratto da scansione a bassa risoluzione — enunciato da verificare con la fonte.

Multiplici di 3 in base 2 con tre 1s: conteggio di cifre in base 4

Un multiple di $3$ quando scritto nella scala di $2$ contiene esattamente tre cifre $1$. Prove che contiene almeno sei cifre quando viene scritta nella scala di $4$, e che se contiene esattamente sette cifre in questa scala, allora è pari.

src_bmo_1981-82_round1__Q02

Prove an identity for the harmonic-type sum s_n

If $s_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}$ for $n>2$, prove that $n(s_n{)}^x=n+(n-1)s_1+(n-2)s_2+\cdots +2s_{n-2}+s_{n-1},$ where $x$ and $b$ are given in terms of $n$ by $a=s_n-1$, $b(s_n-1)=-1$.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto da scansione a bassa risoluzione — enunciato da verificare con la fonte.

Prove un’identità per la somma di tipo armonico s_n

Se $s_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}$ per $n>2$, dimostrare che $n(s_n{)}^x=n+(n-1)s_1+(n-2)s_2+\cdots +2s_{n-2}+s_{n-1},$ dove $x$ e $b$ sono dati in termini di $n$ da $a=s_n-1$, $b(s_n-1)=-1$.

src_bmo_1981-82_round1__Q03

Recurrence sequence: describe behaviour as n tends to infinity

A sequence of real numbers $u_1,u_2,u_3,\dots$ is given by $u_1$ and the recurrence relation $\frac{1}{u_{n+1}}-u_n=\frac{13}{6n},n\ge 2.$ By considering the curve $x^2+y=\frac{13}{6n}$, or otherwise, describe with proof the behaviour of $u_n$ as $n$ tends to infinity.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto da scansione a bassa risoluzione — enunciato da verificare con la fonte.

Sequenza di ricorrenze: descrivere il comportamento come n tende all’infinito

Una sequenza di numeri reali $u_1,u_2,u_3,\dots$ è data da $u_1$ e la relazione di ricorrenza $\frac{1}{u_{n+1}}-u_n=\frac{13}{6n},n\ge 2.$ Considerando la curva $x^2+y=\frac{13}{6n}$, o altrimenti descrivendo con prova il comportamento di $u_n$ come $n$ tende all’infinito.

src_bmo_1981-82_round1__Q04

Cone with elliptic section: condition for two surface routes to intersect

A right circular cone stands on a horizontal base, radius $r$. Its vertex $V$ is at a distance $l$ from every point on the perimeter of the base. A plane section of the cone is an ellipse whose lowest point is $L$ and whose highest point is $H$. On the curved surface of the cone, to one side of the plane $VLH$, two routes from $L$ to $H$ are marked, $R_1$ along the semi-perimeter of the ellipse and $R_2$ the route of shortest length. Find the condition that $R_1$ and $R_2$ intersect between $L$ and $H$.

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Estratto da scansione a bassa risoluzione — enunciato da verificare con la fonte.

Cono con sezione ellittica: condizione per la intersezione di due percorsi superficiali

Un cono circolare destro si trova su una base orizzontale, di raggio $r$. Il suo vertice $V$ è a una distanza $l$ da ogni punto sul perimetro della base. Una sezione piana del cono è un’ellisse il cui punto inferiore è $L$ e il cui punto più alto è $H$. Sulla superficie curva del cono, da un lato del piano $VLH$, sono segnate due percorsi da $L$ a $H$, $R_1$ lungo il semiperimetro dell’ellisse e $R_2$ il percorso di lunghezza più breve. Trova la condizione che $R_1$ e $R_2$ si incrociano tra $L$ e $H$.

src_bmo_1981-82_round1__Q05

Count binary sequences with exactly m occurrences of 01

Prove that the number of sequences $a_1{a}_2\dots a_n$ with each of their $n$ terms $a_i=0$ or $1$ and containing exactly $m$ occurrences of $01$ is $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2m+1}\right)$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto da scansione a bassa risoluzione — enunciato da verificare con la fonte.

Conta le sequenze binarie con accadezza m di 01

Prove che il numero di sequenze $a_1{a}_2\dots a_n$ con ciascuna delle loro $n$ termini $a_i=0$ o $1$ e contenente esattamente $m$ eventi di $01$ è $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2m+1}\right)$.

src_bmo_1981-82_round1__Q06