British Mathematical Olympiad 1981-82 — Round 2

Angle bisectors meet circumcircle; prove sum inequality

$ABC$ is a triangle. The internal bisector of the angle $A$ meets the circumcircle again at $P$. $Q$ and $R$ are similarly defined.

Prove that $AP+BQ+CR>AB+BC+CA$.

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I bisettori angolari incontrano il circoncircolo; dimostrare l’ineguaglianza della somma

$ABC$ è un triangolo. Il bisettore interno dell’angolo $A$ incontra nuovamente il circoncircolo a $P$. $Q$ e $R$ sono definiti in modo simile.

Prove che $AP+BQ+CR>AB+BC+CA$.

src_bmo_1981-82_round2__Q01

Sequence of primes; prove 5 never appears

The sequence $p_1,p_2,\dots$ is defined as follows:

$p_1=2$, and for $n\ge 2$, $p_n$ is the largest prime divisor of $p_1{p}_2\cdots p_{n-1}+1.$

Prove that $5$ is not a member of this sequence.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri primi; prova 5 non appare mai

La sequenza $p_1,p_2,\dots$ è definita come segue:

$p_1=2$, e per $n\ge 2$, $p_n$ è il primo divisore più grande di $p_1{p}_2\cdots p_{n-1}+1.$

Provare che $5$ non è un membro di questa sequenza.

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Find largest n for which ax+(a+1)y+(a+2)z=n has no positive solution

Find the largest positive integer $n$ for which the equation $ax+(a+1)y+(a+2)z=n$ is not solvable in positive integers $x,y,z$, where $a$ is a given odd positive integer.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca la più grande n per la quale ax+(a+1)y+(a+2)z=n non ha soluzione positiva

Trova il più grande intero positivo $n$ per il quale l’equazione $ax+(a+1)y+(a+2)z=n$ non è risolvibile in numeri interi positivi $x,y,z$, dove $a$ è un dato intero positivo parente.

src_bmo_1981-82_round2__Q03

Two points on curve x^n - ay^n = b; area of triangle bound

$P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$ are two points on the curve $x^n-a{y}^n=b$ for which $x>0$, $y>0$. Here $a$ and $b$ are positive constants and $n$ is an integer $>1$. Prove that if $y_1<y_2$, and $\Delta$ is the area of triangle $O{P}_1{P}_2$, then $b{y}_2>2n{y}_1^{n-1}{a}^{1-\frac{1}{n}}\Delta .$

Topic: Geometria analitica, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Due punti sulla curva x^n - ay^n = b; area del triangolo legato *

$P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$ sono due punti della curva $x^n-a{y}^n=b$ per i quali $x>0$, $y>0$. Qui $a$ e $b$ sono costanti positive e $n$ è un intero $>1$. Prova che se $y_1<y_2$ e $\Delta$ sono l’area del triangolo $O{P}_1{P}_2$, allora $b{y}_2>2n{y}_1^{n-1}{a}^{1-\frac{1}{n}}\Delta .$

src_bmo_1981-82_round2__Q04

Polynomial satisfying functional relation; prove identity

Given that $k$ is a fixed non-negative integer and that the polynomial $P(x)$ satisfies the relation $P(2x)=2^{k-1}(P(x)+P(x+1)),$ prove that $P(3x)=3^{k-1}\left(P(x)+P\left(x+\frac{1}{3}\right)+P\left(x+\frac{2}{3}\right)\right).$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Relazione funzionale polinomial soddisfacente; prova di identità

Dato che $k$ è un numero intero fisso non negativo e che il polinomio $P(x)$ soddisfa la relazione $P(2x)=2^{k-1}(P(x)+P(x+1)),$ dimostra che $P(3x)=3^{k-1}\left(P(x)+P\left(x+\frac{1}{3}\right)+P\left(x+\frac{2}{3}\right)\right).$

src_bmo_1981-82_round2__Q05