British Mathematical Olympiad 1982-83 — Round 1

Circumcentre, midpoint, centroid; prove OE perpendicular to CD

In the triangle $ABC$ with circumcentre $O$, $D$ is the midpoint of $AB$ and $E$ is the centroid of triangle $ACD$. Prove that $OE$ is perpendicular to $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumcento, punto medio, centroide; prova che l’OE è perpendicolare al CD

Nel triangolo $ABC$ con circoncentro $O$, $D$ è il punto medio di $AB$ e $E$ è il centroide del triangolo $ACD$. Prova che $OE$ è perpendicolare a $CD$.

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Fibonacci sequence: show f_n - ab^n divisible by all positive integers

The Fibonacci sequence $\{f_n\}$ is defined by $f_1=1,f_2=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n(n>2).$ Prove that there are unique integers $a$, $b$ such that $0<a<b$ and $f_n-a{b}^n$ is divisible by $b$ for all positive integers $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza di Fibonacci: mostra f_n - ab^n divisibile da tutti i numeri interi positivi

La sequenza di Fibonacci $\{f_n\}$ è definita da $f_1=1,f_2=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n(n>2).$ Prove che ci sono integri unici $a$, $b$ in modo tale che $0<a<b$ e $f_n-a{b}^n$ siano divisibili da $b$ per tutti gli integri positivi $n$.

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Sequence x_n with x_1=-1, x_2=2; prove nS_n + F_n = 1 for all n

The real numbers $x_1,x_2,x_3,\dots$ are defined by $x_1=-1,x_2=2\text{and}{x}_{n+1}=2x_n-x_{n-1}\text{ for all }n\ge 1.$ $S_n$ is the mean and $F_n$ is the $n$-th term of the sequence $y_1,y_2,\dots$, where $y_n=\frac{x_{n-1}+x_n}{2}$.

Prove that $n{S}_n+F_n=1$ for all $n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza x_n con x_1=-1, x_2=2; provare nS_n + F_n = 1 per tutte le n

I numeri reali $x_1,x_2,x_3,\dots$ sono definiti da $x_1=-1,x_2=2\text{and}{x}_{n+1}=2x_n-x_{n-1}\text{ for all }n\ge 1.$ $S_n$ è la media e $F_n$ è il $n$-th termine della sequenza $y_1,y_2,\dots$, dove $y_n=\frac{x_{n-1}+x_n}{2}$.

Prova che $n{S}_n+F_n=1$ per tutti $n$.

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Cupola on tower: find shortest path over surface

The two cylindrical surfaces $x^2+z^2=4,y\ge 0\text{and}{y}^2+z^2=4,x\ge 0$ intersect and with $x\ge 0$, $y\ge 0$, $z\ge 0$ form a dome-like shape which is here called a “cupola”. The cupola is placed on top of a vertical tower of height $h$ whose horizontal cross-section is a square of side $2$. Find the shortest distance from the highest point of the cupola to a corner of the base of the tower, over the surface of the cupola and tower.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Cupola sulla torre: trovare il percorso più corto sulla superficie

Le due superfici cilindriche $x^2+z^2=4,y\ge 0\text{and}{y}^2+z^2=4,x\ge 0$ si intersecano e con $x\ge 0$, $y\ge 0$, $z\ge 0$ formano una forma di cupola che qui viene chiamata “cupola”. La cupola è collocata sopra una torre verticale di altezza $h$ la cui sezione trasversale orizzontale è un quadrato laterale $2$. Trova la distanza più breve dal punto più alto della cupola a un angolo della base della torre, sopra la superficie della cupola e della torre.

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10 points in circle of diameter 5”; prove two within 2” of each other

If $10$ points are within a circle of diameter $5^{\prime \prime }$, prove that the distance between some $2$ of the points is less than $2^{\prime \prime }$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

10 punti in un cerchio di diametro 5”; provare due entro 2” l’uno dell’altro

Se i punti $10$ sono all’interno di un cerchio di diametro $5^{\prime \prime }$, dimostrare che la distanza tra alcuni $2$ dei punti è inferiore a $2^{\prime \prime }$.

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Equation with square roots; find p for exactly one real solution x

Consider the equation \sqrt{2p + 1 - x^2} + \sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x + 3p + 9} \tag{1} in which $x,p$ are real numbers and the square roots are to be real and non-negative. Show that if $(1)$ holds then $(x^2+x-p)(x^2+8x+2p+9)=0.$ Hence find the set of real numbers $p$ for which $(1)$ is satisfied by exactly one real number $x$.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione con radici quadrate; trovare p per esattamente una soluzione reale x

Considera l’equazione \sqrt{2p + 1 - x^2} + \sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x + 3p + 9} \tag{1} in cui $x,p$ sono numeri reali e le radici quadrate devono essere reali e non negative. Mostrare che se $(1)$ è valido allora $(x^2+x-p)(x^2+8x+2p+9)=0.$ Trovare quindi l’insieme dei numeri reali $p$ per i quali $(1)$ è soddisfatto da esattamente un numero reale $x$.

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