British Mathematical Olympiad 1982-83 — Round 2

Minimise sum of squared distances to two points and a line

Points $P$, $Q$ and a line $\ell$ are given in a plane. Locate, with proof, the point $F$ of the plane for which $P{F}^2+Q{F}^2+R{F}^2$ is a minimum, where $R$ is the foot of the perpendicular from $F$ to $\ell$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimizzare la somma delle distanze quadrate a due punti e a una linea

I punti $P$, $Q$ e una linea $\ell$ sono indicati in un piano. Indicare, con prova, il punto $F$ del piano per il quale $P{F}^2+Q{F}^2+R{F}^2$ è minimo, dove $R$ è il piede della perpendicolare da $F$ a $\ell$.

src_bmo_1982-83_round2__Q01

Escribed circles of triangle; tangents form a triangle T; prove orthocentre result

Consider the three escribed circles of the triangle $ABC$, that is, the three distinct circles each of which touches one side of triangle $ABC$ internally but the other two externally. Each pair of escribed circles has just one common internal tangent from a side of the triangle, and the three such common tangents form a triangle $T$. Prove that IS is perpendicular to a side of $T$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli di triangolo scritti; tangenti formano un triangolo T; provare il risultato ortocentrico

Considerate i tre cerchi scritti del triangolo $ABC$, cioè i tre cerchi distinti ognuno dei quali tocca un lato del triangolo $ABC$ internamente ma gli altri due esternamente. Ogni coppia di cerchi scritti ha solo una tangente interna comune da un lato del triangolo, e le tre tangenti comuni formano un triangolo $T$. Provare che l’IS è perpendicolare a un lato di $T$.

src_bmo_1982-83_round2__Q02

Three lines in space; PQ perpendicular to n has constant length

$l$, $m$, $n$ are three lines in space. Neither $l$ nor $m$ is perpendicular to $n$. Points $P$ and $Q$ vary on $l$ and $m$ respectively in such a way that $PQ$ is perpendicular to $n$, and the plane through $PQ$ perpendicular to $n$ meets $n$ at a point. Prove that $PQ$ is of constant length.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre linee nello spazio; PQ perpendicolare a n ha una lunghezza costante

$l$, $m$, $n$ sono tre linee nello spazio. Né $l$ né $m$ sono perpendicolari a $n$. I punti $P$ e $Q$ variano rispettivamente su $l$ e $m$ in modo tale che $PQ$ sia perpendicolare a $n$, e il piano attraverso $PQ$ perpendicolare a $n$ incontra $n$ in un punto. Provare che $PQ$ è di lunghezza costante.

src_bmo_1982-83_round2__Q03

Prove inequality for six positive reals with harmonic-mean structure

Prove that if $a,b,c,d,e,f$ are positive real numbers then $\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f}\le \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+d+e+f}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza per sei reali positivi con struttura di media armonica

Dimostra che se $a,b,c,d,e,f$ sono numeri reali positivi allora $\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f}\le \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+d+e+f}.$

src_bmo_1982-83_round2__Q04

Count arrangements of 1–8 satisfying seven order conditions

Find the number of arrangements $a,b,c,d,e,f,g,h$ of the numbers $1,2,3,4,5,6,7,8$ which satisfy all seven conditions $a<b,c<d,e<f,g<h\text{and}b>c,d>e,f>g.$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi di conteggio di 18 che soddisfano sette condizioni di ordine

Trova il numero di accordi $a,b,c,d,e,f,g,h$ dei numeri $1,2,3,4,5,6,7,8$ che soddisfano tutte le sette condizioni $a<b,c<d,e<f,g<h\text{and}b>c,d>e,f>g.$

src_bmo_1982-83_round2__Q05

Find all positive integer pairs (n,k) with (n+1)^k = n! + 1

$n$ and $k$ are positive integers. Find all pairs $(n,k)$ satisfying $(n+1{)}^k=n!+1,$ proving that you have the complete set of solutions.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di integri positivi (n,k) con (n+1)^k = n! + 1

$n$ e $k$ sono integri positivi. Trova tutte le coppie $(n,k)$ soddisfacenti $(n+1{)}^k=n!+1,$ che dimostrano di avere l’insieme completo delle soluzioni.

src_bmo_1982-83_round2__Q06

In a colony of mn+1 mice prove Dilworth-type antichain or chain exists

In a colony of $(mn+1)$ mice, prove that at least one of the following statements is true:

(a) There is a set $A$ of $(m+1)$ mice none of which is a parent of any other in the set.

(b) There is an ordered set $B$ of $(n+1)$ mice $a_1,a_2,\dots ,a_n,a_{n+1}$ such that $a_{i+1}$ is a parent of $a_i$ for each $i=1,2,\dots ,n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In una colonia di topi mn+1 dimostrare l’esistenza di un anticatenato o di una catena di tipo Dilworth

In una colonia di topi $(mn+1)$, dimostrare che almeno una delle seguenti affermazioni è vera:

(a) C’è un insieme $A$ di topi $(m+1)$ nessuno dei quali è genitore di nessun altro nel gruppo.

b) Esiste un insieme ordinato $B$ di topi $(n+1)$ $a_1,a_2,\dots ,a_n,a_{n+1}$ in modo tale che $a_{i+1}$ sia il genitore di $a_i$ per ciascun $i=1,2,\dots ,n$.

src_bmo_1982-83_round2__Q07