British Mathematical Olympiad 1984-85 — Round 1

Two circles tangent to a line, prove bisection and area ratio

Two circles $S_1$ and $S_2$ each touch a straight line $p$ at the same point $P$. All points of $S_2$, except $P$, are in the interior of $S_1$. A straight line $q$ (i) is perpendicular to $p$; (ii) touches $S_2$ at $R$; (iii) cuts $p$ at $L$; and (iv) cuts $S_1$ at $N$ and $M$, where $M$ is between $L$ and $R$. (a) Prove that $RP$ bisects angle $MPN$. (b) If $MP$ bisects angle $RPL$, find, with proof, the ratio of the areas of $S_1$ and $S_2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti a una linea, dimostrare la bisezione e il rapporto di superficie

Due cerchi $S_1$ e $S_2$ toccano ognuno una linea retta $p$ nello stesso punto $P$. Tutti i punti di $S_2$, tranne $P$, sono all’interno di $S_1$. Una linea retta $q$ (i) è perpendicolare a $p$; (ii) tocca $S_2$ a $R$; (iii) taglia $p$ a $L$; e (iv) taglia $S_1$ a $N$ e $M$, dove $M$ è tra $L$ e $R$. a) Provare che $RP$ divide l’angolo $MPN$. b) Se $MP$ divide l’angolo $RPL$, trovare, con la prova, il rapporto tra le superfici di $S_1$ e $S_2$.

src_bmo_1984-85_round1__Q01

For a,b,c in (0,1), not all of a(1-b),b(1-c),c(1-a) exceed 1/4

$a,b,c$, are each numbers between $0$ and $1$. Prove that not all of $a(1-b)$, $b(1-c)$, $c(1-a)$ can be greater than $\frac{1}{4}$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per a,b,c in (0,1), non tutte le a(1-b),b(1-c),c(1-a) superano 1/4

$a,b,c$, sono ogni numero tra $0$ e $1$. Prova che non tutte le $a(1-b)$, $b(1-c)$, $c(1-a)$ possono essere superiori a $\frac{1}{4}$.

src_bmo_1984-85_round1__Q02

Prove a binomial coefficient summation identity

$n$ and $m$ are non-negative integers. Prove that $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)+2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{m}\right)+\cdots +(n+1-m)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{m+2}\right)$ where $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{s}\right)$ is the binomial coefficient $r(r-1)(r-2)\cdots (r-s+1)/s!$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove l’identità di somma dei coefficienti binomiali

$n$ e $m$ sono integri non negativi. Prove che $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)+2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{m}\right)+\cdots +(n+1-m)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{m+2}\right)$ dove $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{s}\right)$ è il coefficiente binomio $r(r-1)(r-2)\cdots (r-s+1)/s!$.

src_bmo_1984-85_round1__Q03

Recurrence sequence: prove f_k f_{k+1} equals some term

The sequence $f_n$ is defined by $f_0=1$, $f_1=c$, where $c$ is a positive integer, and for all $n>1$, $f_n=2f_{n-1}-f_{n-2}+2.$ Prove that for each $k\ge 0$ there exists $h$ such that $f_k{f}_{k+1}=f_h$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di ricorrenza: dimostra che f_k f_{k+1} è uguale a qualche termine

La sequenza $f_n$ è definita da $f_0=1$, $f_1=c$, dove $c$ è un numero intero positivo, e per tutti $n>1$, $f_n=2f_{n-1}-f_{n-2}+2.$ dimostra che per ogni $k\ge 0$ esiste $h$ tale che $f_k{f}_{k+1}=f_h$.

src_bmo_1984-85_round1__Q04

Locus of centre of a cylinder rim resting on a fixed hoop

A cylindrical container has height $6\text{ cm}$ and radius $4\text{ cm}$. It rests on a circular hoop which has also radius $4\text{ cm}$ and the hoop is fixed in a horizontal plane. The container rests with its axis horizontal and with each of its circular rims touching the hoop at two points. The cylinder is now moved so that each of its circular rims still touches the hoop at two points. Find, with proof, the locus of the centre of one of the cylinder’s circular ends.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Locus del centro di un bordo di cilindro appoggiato su un cerchio fisso

Un contenitore cilindrico ha altezza $6\text{ cm}$ e raggio $4\text{ cm}$. Si fonda su un cerchio circolare che ha anche un raggio $4\text{ cm}$ e il cerchio è fissato in un piano orizzontale. Il contenitore si posa con il suo asse orizzontale e con ciascuna delle sue periferie circolari che toccano il cerchio in due punti. Il cilindro è ora spostato in modo che ciascuna delle sue periferie circolari tocchi ancora il cerchio a due punti. Trovare, con prova, il luogo del centro di una delle estremità circolari del cilindro.

src_bmo_1984-85_round1__Q05

Equation x^2+y^2=z^5+z has infinitely many coprime positive solutions

Show that the equation $x^2+y^2=z^5+z$ has infinitely many solutions in positive integers $x,y,z$ having no factor in common greater than $1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione x^2+y^2=z^5+z ha infinite soluzioni positive coprime

Mostrare che l’equazione $x^2+y^2=z^5+z$ ha infinite soluzioni in numeri interi positivi $x,y,z$ senza fattore in comune maggiore di $1$.

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