Tangent lines to circle from midpoints of chord AB
O is a point outside a circle. Two lines OAB, OCD through O meet the circle at A,B,C,D with , the midpoints of , respectively. Also the acute angle between the lines is equal to the acute angle at which each line cuts the circle. Find and show that the tangents at , to the circle meet on the line .
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} Fonte: apri PDF
Line tangenti a cerchio dai punti di mezzo dell’accordo AB
O è un punto fuori da un cerchio. Due linee OAB, OCD e O si incontrano al cerchio a A, B, C, D con , , rispettivamente i punti di mezzo di e . Inoltre l’angolo acuto tra le linee è uguale all’angolo acuto a cui ciascuna linea taglia il cerchio. Trova e mostra che le tangenti di , al cerchio si incontrano sulla linea .
Risposta: \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} src_bmo_1984-85_round2__Q01
Find the first 1985 positive evil integers with even binary digit sum
A positive integer is called evil if the number of s in its binary expansion is even. For example is evil. Find the sum of the first evil positive integers.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Ricerca i primi interi positivi malvagi del 1985 con una somma pari di cifre binarie
Un intero positivo è chiamato male se il numero di s nella sua espansione binaria è pari. Per esempio è malefico. Trova la somma dei primi numeri interi positivi cattivi.
Prove product of five consecutive positive integers is never a perfect square
Prove that the product of five consecutive positive integers is never a perfect square.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Prove il prodotto di cinque numeri interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto
Prova che il prodotto di cinque numeri interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto.
Count handshakes with Mongolian deputy at IMO session
Delegations from 30 countries took part in a session of the International Mathematical Olympiad jury — the leaders and their deputies, 60 people in all. During the session some of the participants shook hands with each other but no leader shook hands with his deputy and no two people shook hands more than once. After the session the leader of the Mongolian team asked everybody how many times they had shaken hands. All the participants answered and the numbers they gave were all different. How many times did the Mongolian leader’s deputy shake hands?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 29 Fonte: apri PDF
Conteggio delle strette di mano con il deputato mongolo alla sessione IMO
Delegazioni provenienti da 30 paesi hanno partecipato a una sessione della giuria delle Olimpiadi Matematiche Internazionali i leader e i loro deputati, in totale 60 persone. Durante la sessione alcuni dei partecipanti si sono stretti la mano l’uno all’altro, ma nessun leader ha stretto la mano al suo vice e non due persone hanno stretto la mano più di una volta. Dopo la sessione il leader della squadra mongola chiese a tutti quante volte avevano stretto la mano. Tutti i partecipanti hanno risposto e i numeri che hanno dato erano tutti diversi. Quante volte il vice leader mongolo ha dato la mano?
Risposta: 29 src_bmo_1984-85_round2__Q04
Prove AB + CD = BC + AD and OH = OD’ for circumscribed tetrahedron face
is a tetrahedron which has a circumsphere passing through , , , and an insphere touching each triangular face at an interior point of that face. The two spheres have the same centre . is the orthocentre of triangle and is the foot of the perpendicular from on to the plane of that triangle.
Prove that and that .
Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Prove AB + CD = BC + AD e OH = OD’ per la faccia di tetraedro circoscritta
è un tetraedro che ha una circonferenza che attraversa , , , e un’insfera che tocca ogni faccia triangolare in un punto interno di quella faccia. Le due sfere hanno lo stesso centro . è l’ortocentro del triangolo e è il piede della perpendicolare da verso il piano di quel triangolo.
Provare che e che .