British Mathematical Olympiad 1985-86 — Round 1

Reduce a large fraction N/D to lowest terms

Reduce the fraction $\frac{N}{D}$ to its lowest terms when $N=22548548548548516627,$ $D=8118811881188118000.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Riduzione di una frazione N/D di grandi dimensioni a termini più bassi

Riduzione della frazione $\frac{N}{D}$ ai suoi termini più bassi quando $N=22548548548548516627,$ $D=8118811881188118000.$

src_bmo_1985-86_round1__Q01

Radius of a circle from two externally tangent circles between parallel tangents

A circle $S$ of radius $R$ has two parallel tangents ${\tau }_1$, ${\tau }_2$. A circle $S_1$ of radius $r_1$ touches $S$ and ${\tau }_1$; a circle $S_2$ of radius $r_2$ touches $S$ and ${\tau }_2$, and also the circle $S_1$. All the circle contacts are external. Calculate $R$ in terms of $r_1$ and $r_2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Radius di un cerchio da due cerchi tangenti esternamente tra tangenti paralleli

Un cerchio $S$ di raggio $R$ ha due tangenti paralleli ${\tau }_1$ e ${\tau }_2$. Un cerchio $S_1$ di raggio $r_1$ tocca $S$ e ${\tau }_1$; un cerchio $S_2$ di raggio $r_2$ tocca $S$ e ${\tau }_2$, nonché il cerchio $S_1$. Tutti i contatti del cerchio sono esterni. Calcolare $R$ in termini di $r_1$ e $r_2$.

src_bmo_1985-86_round1__Q02

Prove a radical equation in positive integers forces m to be a square

Prove that if $m$, $n$ are positive integers and $1+m+n\sqrt{3}={\left(2+\sqrt{3}\right)}^{2n-1}$ then $m$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove un’equazione radicale in numeri interi positivi costringe m ad essere quadrato

Prova che se $m$, $n$ sono interi positivi e $1+m+n\sqrt{3}={\left(2+\sqrt{3}\right)}^{2n-1}$ allora $m$ è un quadrato perfetto.

src_bmo_1985-86_round1__Q03

Largest K in an inequality for the sides of any obtuse triangle

Find, with proof, the largest real number $K$ (independent of $a$, $b$, $c$) such that the inequality $a^2+b^2+c^2>K(a+b+c{)}^2$ holds for the lengths $a$, $b$, $c$ of the sides of any obtuse-angled triangle.

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

K più grande in una disuguaglianza per i lati di qualsiasi triangolo obtuso

Trovare, con prova, il numero reale più grande $K$ (indipendente da $a$, $b$, $c$) in modo tale che l’ineguaglianza $a^2+b^2+c^2>K(a+b+c{)}^2$ sia valida per le lunghezze $a$, $b$, $c$ dei lati di qualsiasi triangolo angolato obtuso.

src_bmo_1985-86_round1__Q04

Count permutations of 1..n with bounded jump constraints

Find, with proof, the number of permutations $a_1,a_2,\dots ,a_n$ of $1,2,\dots ,n$ such that $a_r\le a_{r+2}\text{for }1\le r\le n-2$ and $a_r\le a_{r+3}\text{for }1\le r\le n-3.$ (In a permutation each of the numbers $1,2,\dots ,n$ appears.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi permutazioni di 1..n con restrizioni di salto limitate

Trova, con prova, il numero di permutazioni $a_1,a_2,\dots ,a_n$ di $1,2,\dots ,n$ in modo tale che $a_r\le a_{r+2}\text{for }1\le r\le n-2$ e $a_r\le a_{r+3}\text{for }1\le r\le n-3.$ (In una permutazione appaiono ciascuno dei numeri $1,2,\dots ,n$.)

src_bmo_1985-86_round1__Q05

Cube section area equals tetrahedron section area under parallel planes

$AB$, $AC$, $AD$ are three edges of a cube. $AB$ is produced to $X$ so that $AX=2AC$, and $AD$ is produced to $Y$ so that $AY=3AD$. Prove that the area of the section of the cube by any plane parallel to $BCD$ is equal to the area of the cross-section of the tetrahedron $ABEF$ by the same plane.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area della sezione cubica è uguale all’area della sezione tetraedro sotto piani paralleli

$AB$, $AC$, $AD$ sono tre bordi di un cubo. $AB$ è prodotto a $X$ in modo che $AX=2AC$, e $AD$ è prodotto a $Y$ in modo che $AY=3AD$. Prova che l’area della sezione del cubo per qualsiasi piano parallelo a $BCD$ è uguale all’area della sezione trasversale del tetraedro $ABEF$ per lo stesso piano.

src_bmo_1985-86_round1__Q06