British Mathematical Olympiad 1985-86 — Round 2

Rational point centre of similitude for two rational-point segments

Plane rectangular Cartesian axes are given with equal unit length along each axis. A rational point is defined as a point both of whose coordinates are rational numbers. $A,B,A^{\prime },B^{\prime }$ are four distinct rational points; $A$ and $B$ are on the $x$-axis. Prove that $\overline{AB}=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, there exists just one point $P$ such that the triangles $PAB$, $P{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ are directly similar, i.e. each can be obtained from the other by enlargement (and translation) and rotation about $P$. Prove also that $P$ is a rational point.

Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Centro di somiglianza dei punti razionali per due segmenti di punti razionali

Gli assi cartesiani rettangolari a piano sono dati con uguale lunghezza unitaria lungo ogni asse. Un punto razionale è definito come un punto le cui coordinate sono entrambi numeri razionali. $A,B,A^{\prime },B^{\prime }$ sono quattro punti razionali distinti; $A$ e $B$ sono sull’asse $x$. Prova che $\overline{AB}=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, esiste solo un punto $P$ tale che i triangoli $PAB$, $P{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ siano direttamente simili, ovvero ciascuno può essere ottenuto dall’altro mediante ingrandimento (e traduzione) e rotazione di circa $P$. Prova anche che $P$ è un punto razionale.

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Greatest value of $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ subject to two constraints

Find, with proof, the greatest value of $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ where $x,y,z$ are real numbers satisfying the conditions $x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=1.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il valore massimo di $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ soggetto a due restrizioni

Trovare, con prova, il valore massimo di $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ dove $x,y,z$ sono numeri reali che soddisfano le condizioni $x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=1.$

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Family of 2-element sets with intersection condition; existence proof

$P_1,P_2,\dots ,P_n$ ($n\ge 2$) are sets each having two elements. $P_i$ and $P_j$ ($i\ne j$) have an element in common if and only if $\{i,j\}$ is one of the sets $P_k$. Prove that one of $1,2,\dots ,n$ is in exactly two of the sets $P_k$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Grafi, Estremalità, Casework Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Famiglia di gruppi a 2 elementi con condizione di intersezione; prova di esistenza

$P_1,P_2,\dots ,P_n$ ($n\ge 2$) sono set che hanno ciascuno due elementi. $P_i$ e $P_j$ ($i\ne j$) hanno un elemento in comune se e solo se $\{i,j\}$ è uno degli insiemi $P_k$. Prove che uno di $1,2,\dots ,n$ si trova esattamente in due dei set $P_k$.

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Product of binomial coefficients divisible by $n^2$

Show that if $m,n$ are positive integers with $2\le m\le n-1$, then the product $k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ of binomial coefficients is divisible by $n^2$. For this $k$, given $n$, determine the greatest common divisor of the integers $\frac{1}{n^2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$, $2\le m\le n-1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prodotto di coefficienti binomiali divisibili per $n^2$

Mostrare che se $m,n$ sono integri positivi con $2\le m\le n-1$, il prodotto $k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ dei coefficienti binomiali è divisibile da $n^2$. Per questo $k$, dato $n$, determinare il più grande divisore comune degli interi $\frac{1}{n^2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$, $2\le m\le n-1$.

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Locus of midpoint of $P_1{P}_2$ for parallel chords of two circles

$C_1$ and $C_2$ are two circles; $A_1$, $A_2$ are their centres respectively. $A_1{P}_1$, $A_2{P}_2$ are parallel chords of $C_1$, $C_2$ respectively. Find the locus of the midpoint of $P_1{P}_2$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Locus del punto medio di $P_1{P}_2$ per accordi paralleli di due cerchi

$C_1$ e $C_2$ sono due cerchi; $A_1$ e $A_2$ sono rispettivamente i loro centri. $A_1{P}_1$, $A_2{P}_2$ sono accordi paralleli rispettivamente di $C_1$ e $C_2$. Trova il locus del punto medio di $P_1{P}_2$.

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