British Mathematical Olympiad 1986-87 — Round 1

Integer solutions of two Diophantine equations

(a) Find, with proof, all integer solutions of $a^3+b^3=9.$

(b) Find, with proof, all integer solutions of $35a^4+46a^2{b}^2+13b^4=9.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Soluzioni integrali di due equazioni diofantine

(a) Trovare, con prova, tutte le soluzioni integrali di $a^3+b^3=9.$

b) Trova, con prova, tutte le soluzioni integrali di $35a^4+46a^2{b}^2+13b^4=9.$

src_bmo_1986-87_round1__Q01

Point on side of triangle, prove angle bisector property

In a triangle $ABC$, $\angle BAC=100^{\circ }$ and $AB=AC$. A point $D$ is chosen on the side $AC$ so that $\angle ABD=\angle CBD$. Prove that $AD+DB=BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto sul lato del triangolo, prova proprietà del bisettore angolare

In un triangolo $ABC$, $\angle BAC=100^{\circ }$ e $AB=AC$. Un punto $D$ è scelto sul lato $AC$ in modo che $\angle ABD=\angle CBD$. Prove che $AD+DB=BC$.

src_bmo_1986-87_round1__Q02

Find limiting value of product of two binomial-coefficient sums

Find, with proof, the value of ${\lim }_{n\to \infty }{\left({\sum }_{r=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{r}\right)\frac{1}{4^r}\right)}^{-1}{\sum }_{r=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{r}\right)\frac{1}{4^r}$ as $n\to \infty$.

Here $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{r}\right)$ denotes a binomial coefficient.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il valore limite del prodotto di due somme di coefficienti binomiali

Trova, con prova, il valore di ${\lim }_{n\to \infty }{\left({\sum }_{r=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{r}\right)\frac{1}{4^r}\right)}^{-1}{\sum }_{r=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{r}\right)\frac{1}{4^r}$ come $n\to \infty$.

Qui $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{r}\right)$ indica un coefficiente binomio.

src_bmo_1986-87_round1__Q03

Polynomial with given values; prove P(N)=N+51 implies N=26

Let $P(x)$ be any polynomial with integer coefficients such that $P(21)=17,P(32)=-247,P(37)=33.$ Prove that if $P(N)=N+51$ for some integer $N$, then $N=26$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio con dati dati; prova P(N)=N+51 implica N=26

Che $P(x)$ sia qualsiasi polinomio con coefficienti interi tali che $P(21)=17,P(32)=-247,P(37)=33.$ dimostri che se $P(N)=N+51$ per un certo numero intero $N$, allora $N=26$.

src_bmo_1986-87_round1__Q04

Circles on BE and CF as diameters meet on altitude from A

A line parallel to the side $BC$ of an acute-angled triangle $ABC$ cuts the side $AB$ at $F$ and the side $AC$ at $E$. Prove that the circles on $BE$ and $CF$ as diameters intersect on the altitude of the triangle drawn from $A$ perpendicular to $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli su BE e CF come diametri che si incontrano all’altitudine da A

Una linea parallela al lato $BC$ di un triangolo acuto $ABC$ taglia il lato $AB$ a $F$ e il lato $AC$ a $E$. Prova che i cerchi di $BE$ e $CF$ come diametri si intersecano sull’altitudine del triangolo tracciato da $A$ perpendicolare a $BC$.

src_bmo_1986-87_round1__Q05

Find maximum of xyz over product of four factors

Find, with proof, the maximum value of $\frac{xyz}{(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)}$ for positive real numbers $x$, $y$, $z$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{256}$ Fonte: apri PDF

Ricerca il massimo di xyz sul prodotto di quattro fattori

Trova, con prova, il valore massimo di $\frac{xyz}{(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)}$ per i numeri reali positivi $x$, $y$, $z$.

Risposta: $\frac{1}{256}$ src_bmo_1986-87_round1__Q06

Existence of positive integer x making triangular-number expression divisible by 2^n

Prove that if $n$ and $k$ are any positive integers then there exists a positive integer $x$ such that $\frac{1}{2}x(x+1)-k$ is divisible by $2^n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esistenza di un intero positivo x che rende la espressione triangolare di un numero divisibile per 2^n

Prova che se $n$ e $k$ sono interi positivi allora esiste un intero positivo $x$ tale che $\frac{1}{2}x(x+1)-k$ sia divisibile da $2^n$.

src_bmo_1986-87_round1__Q07