British Mathematical Olympiad 1987-88 — Round 1

Find all real solutions of a nested square-root equation

Find all the real solutions $x$ of the equation $\sqrt{x+1972098-1988\sqrt{x+1974081-1988\sqrt{x+980409}}}+\sqrt{x+1974081-1988\sqrt{x+980409}}=1$ where x​ indicates the non-negative square root.

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni reali di un’equazione a radice quadrata incastonata

Trova tutte le soluzioni reali $x$ dell’equazione $\sqrt{x+1972098-1988\sqrt{x+1974081-1988\sqrt{x+980409}}}+\sqrt{x+1974081-1988\sqrt{x+980409}}=1$ dove x​ indica la radice quadrata non negativa.

src_bmo_1987-88_round1__Q01

Find all real-valued functions on natural numbers satisfying f(x+y)=f(x)f(y)

Find all the real-valued functions $f$ defined on the set $D$ of natural numbers $x\ge 10$ and satisfying the functional equation $f(x+y)=f(x)f(y)$ for all $x,y\in D$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca tutte le funzioni a valore reale su numeri naturali che soddisfano f(x+y) = f(x)f(y) *

Trovare tutte le funzioni a valore reale $f$ definite sul set $D$ dei numeri naturali $x\ge 10$ e soddisfare l’equazione funzionale $f(x+y)=f(x)f(y)$ per tutti $x,y\in D$.

src_bmo_1987-88_round1__Q02

Find unique integer pair r, n with 0<n<200 satisfying two fraction inequalities

Find a pair of integers $r$, $n$ such that $0<n<200$ and $\frac{r}{n}<\frac{51}{80}<\frac{r+1}{n},\frac{r}{n+1}<\frac{51}{80}<\frac{r+1}{n+1}.$ Also prove that there is exactly one such pair $r$, $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca una coppia di integri unica r, n con 0<n<200 che soddisfa due disuguaglianze frazioni

Trovare una coppia di integri $r$, $n$ tale che $0<n<200$ e $\frac{r}{n}<\frac{51}{80}<\frac{r+1}{n},\frac{r}{n+1}<\frac{51}{80}<\frac{r+1}{n+1}.$ Inoltre dimostrare che esiste esattamente una coppia di tali $r$, $n$.

src_bmo_1987-88_round1__Q03

Perpendicular feet from orthocentre to angle bisectors are collinear with midpoint of BC

The triangle $ABC$ has orthocentre $H$. The feet of the perpendiculars from $H$ to the internal and external bisectors of angle $BAC$ (which is not a right angle) are $P$ and $Q$. Prove that $PQ$ passes through the midpoint of $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I piedi perpendicolari da ortocentro a bisettori angolari sono collineari con il punto medio di BC

Il triangolo $ABC$ ha l’ortocentro $H$. I piedi delle perpendicolari da $H$ ai bisettieri interni ed esterni dell’angolo $BAC$ (non angolo retto) sono $P$ e $Q$. Provare che $PQ$ passa attraverso il punto medio di $BC$.

src_bmo_1987-88_round1__Q04

Prove recursively defined d(n,m) are always integers

Numbers $d(n,m)$ with $m$, $n$ integers, $0\le m\le n$, are defined by $d(n,0)=d(n,n)=1\text{for all }n\ge 0$ and $md(n,m)=md(n-1,m)+(2n-m)d(n-1,m-1)$ for $0<m<n$. Prove that all the $d(n,m)$ are integers.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove recursively defined d(n,m) sono sempre numeri interi

I numeri $d(n,m)$ con $m$, $n$ enti, $0\le m\le n$, sono definiti da $d(n,0)=d(n,n)=1\text{for all }n\ge 0$ e $md(n,m)=md(n-1,m)+(2n-m)d(n-1,m-1)$ per $0<m<n$. Provare che tutti i $d(n,m)$ sono numeri interi.

src_bmo_1987-88_round1__Q05

Show least positive value of (x²+y²)/y subject to quadratic constraint is 1/2

Show that the least positive value of $\frac{x^2+y^2}{y},$ where $x$, $y$ are real numbers such that $7x^2+3xy+3y^2=1,$ is $\frac{1}{2}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: \frac{1}{2} Fonte: apri PDF

Indicare il valore minimo positivo di (x2+y2)/y soggetto alla restrizione quadratica è 1/2*

Indicare che il valore minimo positivo di $\frac{x^2+y^2}{y},$ dove $x$, $y$ sono numeri reali, in modo che $7x^2+3xy+3y^2=1,$ sia $\frac{1}{2}$.

Risposta: \frac{1}{2} src_bmo_1987-88_round1__Q06