British Mathematical Olympiad 1987-88 — Round 2

Equilateral triangle with inscribed circles; prove ratio AP/AC = 4/5 and find AQ/AC

$ABC$ is an equilateral triangle. The circle ${\Gamma }_1$ has centre $A$ and radius $AB$. ${\Gamma }_2$ is the circle on $AC$ as diameter. The circle with centre $P$ on $AC$ touches ${\Gamma }_1$ internally at $C$ and ${\Gamma }_2$ externally at $Q$.

Show that $AP/AC=4/5$ and calculate the ratio $AQ/AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo equilaterale con cerchi incisi; prova il rapporto AP/AC = 4/5 e trova AQ/AC

$ABC$ è un triangolo equilaterale. Il cerchio ${\Gamma }_1$ ha centro $A$ e raggio $AB$. ${\Gamma }_2$ è il cerchio su $AC$ come diametro. Il cerchio con il centro $P$ su $AC$ tocca ${\Gamma }_1$ internamente a $C$ e ${\Gamma }_2$ esternamente a $Q$.

Indicare che $AP/AC=4/5$ e calcolare il rapporto $AQ/AC$.

src_bmo_1987-88_round2__Q01

Count ways to pair 2n objects; count pair arrangements for married couples

Prove that the number of ways of arranging $2n$ distinguishable objects in $n$ pairs is $1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1).$ For example, the 3 pairs of $\{a,b,c,d\}$ are: $ab,cd$; $ac,bd$; $ad,bc$.

A party of 10 people consisting of 5 married couples is to be split into 5 pairs. A pair may consist of two men, two women or a man and a woman, but must not be a married couple. In how many ways can this arrangement be made? Explain your reasoning carefully.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i modi di accoppiare 2n oggetti; conta le disposizioni di coppia per le coppie sposate

Provare che il numero di modi di organizzare gli oggetti $2n$ distinguibili in coppie $n$ è $1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1).$ Ad esempio, le 3 coppie di $\{a,b,c,d\}$ sono: $ab,cd$; $ac,bd$; $ad,bc$.

Un gruppo di 10 persone composto da 5 coppie sposate sarà diviso in 5 coppie. Una coppia può essere composta da due uomini, due donne o da un uomo e una donna, ma non deve essere una coppia sposata. In quanti modi si può fare questa disposizione? Spiega attentamente il tuo ragionamento.

src_bmo_1987-88_round2__Q02

System of equations in a,b,c,x,y,z; express z and a combined expression

The numbers $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ satisfy the equations $x^2-y^2-z^2=2ayz$ $-x^2+y^2-z^2=2bxz$ $-x^2-y^2+z^2=2cxy$ and also $xyz\ne 0$.

By using the first two equations express $z$ in terms of $a$, $b$, $x$, $y$. Prove that $x^2(1-b^2)=y^2(1-a^2)=xy(ab-c)$ and hence find the value of $a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2-2b^2{c}^2-2a^2{c}^2$ (independently of $x$, $y$, $z$).

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Sistema di equazioni a,b,c,x,y,z; espresso z e espressione combinata

I numeri $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ soddisfano le equazioni $x^2-y^2-z^2=2ayz$ $-x^2+y^2-z^2=2bxz$ $-x^2-y^2+z^2=2cxy$ e anche $xyz\ne 0$.

Usando le prime due equazioni si esprime $z$ in termini di $a$, $b$, $x$, $y$. Prove che $x^2(1-b^2)=y^2(1-a^2)=xy(ab-c)$ e quindi trova il valore di $a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2-2b^2{c}^2-2a^2{c}^2$ (indipendentemente da $x$, $y$, $z$).

Risposta: 1 src_bmo_1987-88_round2__Q03

Find all positive integer solutions of 1/x + 1/y - 1/z = 1

Find, with proof, all solutions of $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1$ where $x$, $y$, $z$ are positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali positive di 1/x + 1/y - 1/z = 1

Trova, con prova, tutte le soluzioni di $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1$ dove $x$, $y$, $z$ sono integri positivi.

src_bmo_1987-88_round2__Q04

Skew lines with moving segment; sphere through four points has centre on fixed circle

$L$ and $M$ are two skew lines in space, i.e. they neither meet nor are parallel. $A$, $B$ are the points on $L$, $M$ respectively such that $AB$ is perpendicular to both $L$ and $M$. Points $P$ on $L$, $Q$ on $M$ vary so that $PQ$ is of constant length.

Show that the centre of the sphere through $A$, $B$, $P$, $Q$ lies on a fixed circle with centre the midpoint of $AB$.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Line pieghevoli con segmento in movimento; sfera attraverso quattro punti ha il centro su un cerchio fisso

$L$ e $M$ sono due linee skew nello spazio, cioè non si incontrano né sono parallele. $A$, $B$ sono i punti di $L$ e $M$ rispettivamente in modo tale che $AB$ sia perpendicolare sia a $L$ che a $M$. I punti $P$ su $L$ e $Q$ su $M$ variano in modo che $PQ$ sia di lunghezza costante.

Indicare che il centro della sfera attraverso $A$, $B$, $P$, $Q$ si trova su un cerchio fisso con il centro il punto medio di $AB$.

src_bmo_1987-88_round2__Q05

If two triangles have sides a1,b1,c1 and a2,b2,c2, prove geometric means form a triangle

Prove that if $a_1$, $b_1$, $c_1$ and $a_2$, $b_2$, $c_2$ are the lengths of the sides of two triangles (in some unit of measurement) then $a=\sqrt{a_1{a}_2},b=\sqrt{b_1{b}_2},c=\sqrt{c_1{c}_2}$ are also the lengths of the sides of some triangle.

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Se due triangoli hanno lati a1,b1,c1 e a2,b2,c2, dimostrare che i mezzi geometrici formano un triangolo

Prova che se $a_1$, $b_1$, $c_1$ e $a_2$, $b_2$, $c_2$ sono le lunghezze dei lati di due triangoli (in qualche unità di misura), allora $a=\sqrt{a_1{a}_2},b=\sqrt{b_1{b}_2},c=\sqrt{c_1{c}_2}$ sono anche le lunghezze dei lati di un triangolo.

src_bmo_1987-88_round2__Q06