British Mathematical Olympiad 1988-89 — Round 2

Find smallest positive integer a for quadratic with roots in (0,1)

Find the smallest positive integer $a$ with the property:

There exist integers $b,c$ such that the equation $a{x}^2-bx+c=0$ has two distinct roots in the interval $0<x<1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5 Fonte: apri PDF

Trova il più piccolo intero positivo a per quadratici con radici in (0,1)

Trova il numero intero positivo più piccolo $a$ con la proprietà:

Esistono numeri interi $b,c$ in modo che l’equazione $a{x}^2-bx+c=0$ abbia due radici distinte nell’intervallo $0<x<1$.

Risposta: 5 src_bmo_1988-89_round2__Q01

Count row arrangements of 5 A’s, 5 B’s, 5 C’s with each letter adjacent to identical letter

Find the number of different arrangements in a row of the letters $A,A,A,A,A,B,B,B,B,B,C,C,C,C,C$ such that each letter is adjacent to an identical letter.

Indicate if you can give a generalisation to the case of $n$ letters each appearing five times.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggio di righe di 5 A, 5 B, 5 C con ciascuna lettera adiacente alla lettera identica

Trovare il numero di diversi arrangiamenti in una riga delle lettere $A,A,A,A,A,B,B,B,B,B,C,C,C,C,C$ in modo tale che ogni lettera sia adiacente a una lettera identica.

Indicare se è possibile generizzare il caso delle lettere $n$ che appaiono ciascuna cinque volte.

src_bmo_1988-89_round2__Q02

Find f(n+1) for degree-n polynomial with f(k)=1/(k+1) for k=0,…,n

Let $f(x)$ be a polynomial of degree $n$ such that $f(k)=\frac{1}{k+1},k=0,1,2,\dots ,n.$ Find $f(n+1)$, expressing your result as simply as possible.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca f(n+1) per polinomio di grado n con f(k)=1/(k+1) per k=0,…,n

Che $f(x)$ sia un polinomio di grado $n$ tale che $f(k)=\frac{1}{k+1},k=0,1,2,\dots ,n.$ Trova $f(n+1)$, esprimendo il risultato il più semplicemente possibile.

src_bmo_1988-89_round2__Q03

Find BM in triangle ABC given BAM and BMC have equal inradii

$M$ is a point on the side $AC$ of triangle $ABC$ such that triangles $BAM$, $BMC$ have inscribed circles of equal radius. Find the length of $BM$ in terms of the lengths $a,b,c$ of the sides of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca BM nel triangolo ABC dato BAM e BMC hanno uguali inradii

$M$ è un punto sul lato $AC$ del triangolo $ABC$ in modo tale che i triangoli $BAM$, $BMC$ abbiano scritti cerchi di uguale raggio. Trova la lunghezza di $BM$ in termini di lunghezza $a,b,c$ dei lati del triangolo $ABC$.

src_bmo_1988-89_round2__Q04