British Mathematical Olympiad 1989-90 — Round 1

Find positive integer whose first digit is 1, tripled when moved to end

Find a positive integer whose first digit is $1$ and which has the property that, if this digit is transferred to the end of the number, the number is tripled.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova un intero positivo la cui prima cifra è 1, triplicato quando si sposta alla fine

Trova un intero positivo la cui prima cifra è $1$ e che ha la proprietà che, se questa cifra viene trasferita alla fine del numero, il numero è triplicato.

src_bmo_1989-90_round1__Q01

Square ABCD, P on AB; find max and min of ratio PC/PD

$ABCD$ is a square and $P$ is a point on the line $AB$. Find the maximum and minimum values of the ratio $PC/PD$, showing that these occur for the points $P$ given by $AP\times BP=A{B}^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrato ABCD, P su AB; trovare il rapporto massimo e min PC/PD

$ABCD$ è un quadrato e $P$ è un punto sulla linea $AB$. Trova i valori massimi e minimi del rapporto $PC/PD$, mostrando che si verificano per i punti $P$ dati da $AP\times BP=A{B}^2$.

src_bmo_1989-90_round1__Q02

Convex quadrilateral with cos identity; prove trapezium or cyclic

The angles $A$, $B$, $C$, $D$ of a convex quadrilateral satisfy the relation $\cos A+\cos B+\cos C+\cos D=0.$ Prove that $ABCD$ is a trapezium or is cyclic.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Casework, Trigonometria, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

quadrilatero convex con cos identificazione; prova trapezio o ciclico

Gli angoli $A$, $B$, $C$, $D$ di un quadrilaterale convexo soddisfano la relazione $\cos A+\cos B+\cos C+\cos D=0.$ Prove che $ABCD$ sia un trapezio o ciclico.

src_bmo_1989-90_round1__Q03

Biased coin game; find p for fair game between A and B

A coin is biased so that the probability of obtaining a head is $p$, $0<p<1$. Two players $A$ and $B$ throw the coin in turn until one of the sequences $HHH$ or $HTH$ occurs. If sequence $HHH$ occurs first then $A$ wins. If $HTH$ occurs first then $B$ wins. For what value of $p$ is this game fair (i.e. such that $A$ and $B$ have an equal chance of winning)?

Topic: Probabilità Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Gioco di monete pregiudiziale; trovare p per un gioco equo tra A e B *

Una moneta è biased in modo che la probabilità di ottenere una testa è $p$, $0<p<1$. Due giocatori $A$ e $B$ lanciano la moneta a turno fino a quando non si verifica una delle sequenze $HHH$ o $HTH$. Se la sequenza $HHH$ si verifica prima, allora $A$ vince. Se $HTH$ si verifica per primo, allora $B$ vince. Per quale valore di $p$ è il fair game (cioè in modo tale che $A$ e $B$ abbiano uguali possibilità di vincere)?

src_bmo_1989-90_round1__Q04

Diagonals of convex quadrilateral meet at O; prove PQ perpendicular to RS

The diagonals of a convex quadrilateral $ABCD$ intersect at $O$. The centroids of triangles $AOB$ and $BOC$ are $P$ and $Q$; the orthocentres of triangles $AOB$ and $COD$ are $R$ and $S$.

Prove that $PQ$ is perpendicular to $RS$.

[The centroid is the intersection of the lines from each vertex to the midpoint of the opposite side; the orthocentre is the intersection of the altitudes.]

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le diagonali di quadrilaterali convexi si incontrano a O; dimostrare che la PQ è perpendicolare a RS

I diagonali di un quadrilaterale convex $ABCD$ si intersecano a $O$. I centriodi dei triangoli $AOB$ e $BOC$ sono $P$ e $Q$; gli ortocentri dei triangoli $AOB$ e $COD$ sono $R$ e $S$.

Prova che $PQ$ è perpendicolare a $RS$.

[Il centroide è l’intersezione delle linee da ogni vertice al punto medio del lato opposto; l’ortocentro è l’intersezione delle altitudini.]

src_bmo_1989-90_round1__Q05

Rational x,y satisfy x^4+y^4=2(xy)^3; prove 1-xy is rational square

Prove that if $x$, $y$ are rational numbers satisfying the equation $x^4+y^4=2(xy{)}^3,$ then $1-xy$ is the square of a rational number.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rationale x,y soddisfare x^4+y^4=2(xy)^3; provare 1-xy è quadrato razionale

Dimostra che se $x$, $y$ sono numeri razionali che soddisfano l’equazione $x^4+y^4=2(xy{)}^3,$ allora $1-xy$ è il quadrato di un numero razionale.

src_bmo_1989-90_round1__Q06