British Mathematical Olympiad 1989-90 — Round 2

Integer-coefficient polynomial taking value 1990 at four distinct integers cannot take 1991

Prove that if $p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$ whose coefficients are integers, takes the value 1990 for four distinct integer values of $x$, then it does not take the value 1991 for any integer value of $x$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il polinomio a coefficiente intero che prende il valore 1990 a quattro numeri interi distinti non può prendere il valore 1991

Prove che se $p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$ i cui coefficienti sono interi, prende il valore 1990 per quattro valori interi distinti di $x$, allora non prende il valore 1991 per alcun valore interi di $x$.

src_bmo_1989-90_round2__Q01

Find positive number s such that a fractional-part sum equals 1990; are there rational solutions?

A positive number $\lfloor k\rfloor$ is the greatest integer which is not greater than $k$. The fractional part $\{x\}$ is defined by $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

Find a positive number $s$ such that ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left\{\frac{s}{n}\right\}=1990.$

Are there any rational solutions?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca un numero positivo s tale che la somma frazionaria sia uguale al 1990; esistono soluzioni razionali?

Un numero positivo $\lfloor k\rfloor$ è il numero intero più grande non superiore a $k$. La frazione $\{x\}$ è definita da $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

Trova un numero positivo $s$ tale che ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left\{\frac{s}{n}\right\}=1990.$

Ci sono soluzioni razionali?

src_bmo_1989-90_round2__Q02

State the cosine rule; prove sqrt(a)+sqrt(b)>sqrt(c) for triangle sides a,b,c

State the cosine rule for a triangle.

Prove that for positive real numbers $a$, $b$, $c$ which are the sides of a triangle, $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}.$

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Inserire la regola cosina; provare sqrt(a) +sqrt(b)>sqrt(c) per i lati del triangolo a,b,c

Indicare la regola cosina per un triangolo.

Prova che per i numeri reali positivi $a$, $b$, $c$ che sono i lati di un triangolo, $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}.$

src_bmo_1989-90_round2__Q03

Maximum area of triangles inscribed in T; prove AI^2 = AB·AC for incentre I

Let a set of triangles be inscribed in a triangle $T$ (i.e., the vertices lie on the boundary of $T$). Find the maximum value of $\text{Area}(\Delta )$ over all such inscribed triangles.

Let $I$ be the centre of the circle inscribed in triangle $ABC$, with $AB$ and $AC$ produced beyond $B$ and $C$ respectively.

Prove that $A{I}^2=AB\cdot AC.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area massima dei triangoli inseriti in T; prova AI^2 = AB·AC per incentro I

Un insieme di triangoli deve essere inserito in un triangolo $T$ (cioè i vertici si trovano sul confine di $T$). Trova il valore massimo di $\text{Area}(\Delta )$ su tutti i triangoli inseriti.

Il $I$ deve essere il centro del cerchio inscritto nel triangolo $ABC$, con $AB$ e $AC$ prodotti al di là di $B$ e $C$ rispettivamente.

Provare che $A{I}^2=AB\cdot AC.$

src_bmo_1989-90_round2__Q04