British Mathematical Olympiad 1990-91 — Round 1

Prove 3^n + 2×17^n is never a perfect square

Prove that the number $3^n+2\times 17^n$ where $n$ is a non-negative integer, is never a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove 3^n + 2×17^n non è mai un quadrato perfetto

Prova che il numero $3^n+2\times 17^n$ dove $n$ è un intero non negativo, non è mai un quadrato perfetto.

src_bmo_1990-91_round1__Q01

Find positive integers k such that x^(2k+1)+x+1 is divisible by x^k+x+1

Find all positive integers $k$ such that the polynomial $x^{2k+1}+x+1$ is divisible by the polynomial $x^k+x+1$.

For each such $k$ specify the integers $n$ such that $x^n+x+1$ is divisible by $x^k+x+1$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca dei numeri interi positivi k tale che x^(2k+1)+x+1 sia divisibile da x^k+x+1

Trovare tutti gli integri positivi $k$ in modo tale che il polinomio $x^{2k+1}+x+1$ sia divisibile dal polinomio $x^k+x+1$.

Per ciascuna di tali $k$ specificare gli integri $n$ in modo tale che $x^n+x+1$ sia divisibile da $x^k+x+1$.

src_bmo_1990-91_round1__Q02

Cyclic quadrilateral ABCD: AC perpendicular BD iff EA²+EB²+EC²+ED²=4r²

$ABCD$ is a quadrilateral inscribed in a circle of radius $r$. The diagonals $AC$, $BD$ meet at $E$.

Prove that if $AC$ is perpendicular to $BD$ then $E{A}^2+E{B}^2+E{C}^2+E{D}^2=4r^2.(\ast )$

Is it true that if $(\ast )$ holds then $AC$ is perpendicular to $BD$? Give a reason for your answer.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale ciclico: BD perpendicolare a CA se EA2+EB2+EC2+ED2=4r2

$ABCD$ è un quadrilaterale inserito in un cerchio di raggio $r$. Le diagonali $AC$ e $BD$ si incontrano a $E$.

Prova che se $AC$ è perpendicolare a $BD$, allora $E{A}^2+E{B}^2+E{C}^2+E{D}^2=4r^2.(\ast )$

E’ vero che se $(\ast )$ si tiene, allora $AC$ è perpendicolare a $BD$? Datemi una ragione per la vostra risposta.

src_bmo_1990-91_round1__Q03

Find minimum of (x+y)(y+z) given xyz(x+y+z)=1

Find, with proof, the minimum value of $(x+y)(y+z)$ where $x,y,z$ are positive real numbers satisfying the condition $xyz(x+y+z)=1.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Ricerca il minimo di (x+y)(y+z) dato xyz(x+y+z)=1

Trova, con prova, il valore minimo di $(x+y)(y+z)$ dove $x,y,z$ sono numeri reali positivi che soddisfano la condizione $xyz(x+y+z)=1.$

Risposta: 1 src_bmo_1990-91_round1__Q04

Count permutations of 1–6 with no initial segment forming a permutation of 1..n

Find the number of permutations (arrangements) $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6$ of $1,2,3,4,5,6$ with the property:

For no integer $n$, $1\le n\le 5$, do $p_1,p_2,\dots ,p_n$ form a permutation of $1,2,\dots ,n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi permutazioni di 16 senza segmento iniziale che costituisca una permutazione di 1..n

Trova il numero di permutazioni (arrangiamenti) $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6$ di $1,2,3,4,5,6$ con la proprietà:

Per nessun numero intero $n$, $1\le n\le 5$, $p_1,p_2,\dots ,p_n$ costituisce una permutazione di $1,2,\dots ,n$.

src_bmo_1990-91_round1__Q05

Show x is a perfect square if x²+y²−x is divisible by 2xy

Show that if $x$ and $y$ are positive integers such that $x^2+y^2-x$ is divisible by $2xy$ then $x$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Estremalità, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra x è un quadrato perfetto se x2+y2−x è divisibile da 2xy

Mostrare che se $x$ e $y$ sono numeri interi positivi in modo tale che $x^2+y^2-x$ sia divisibile da $2xy$ allora $x$ è un quadrato perfetto.

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Ladder against wall: find height h in terms of length l and rung distance d

A ladder of length $l$ rests against a vertical wall. Suppose that there is a rung on the ladder which has the same distance $d$ from both the wall and the (horizontal) ground. Find explicitly, in terms of $l$ and $d$, the height $h$ from the ground that the ladder reaches up the wall.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Lada contro parete: trovare l’altezza h in termini di lunghezza l e distanza tra le scale d

Una scala di lunghezza $l$ si appoggia a una parete verticale. Supponiamo che sulla scala ci sia un gradino che abbia la stessa distanza $d$ sia dalla parete che dal terreno (orizzontale). Indicare esplicitamente, in termini di $l$ e $d$, l’altezza $h$ dal suolo che la scala raggiunge fino al muro.

src_bmo_1990-91_round1__Q07