British Mathematical Olympiad 1990-91 — Round 2

Right triangle median angle bound: sin theta ≤ 1/√5

In triangle $ABC$, $B$ is a right-angle and $\theta$ is the angle between $AC$ and the median from $C$ to $AB$.

Prove that $\sin \theta \le \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lineato angolo mediano del triangolo retto: sin theta ≤ 1/√5

Nel triangolo $ABC$, $B$ è un angolo rettangolo e $\theta$ è l’angolo tra $AC$ e la media da $C$ a $AB$.

Prove che $\sin \theta \le \frac{1}{\sqrt{5}}$.

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Dwarfs with reversible cloaks: prove changes eventually stop

Twelve dwarfs live in a forest. Each has a two-sided cloak which is blue on one side and red on the other, and each dwarf consistently wears their cloak red side out.

Following the New Year’s resolution: on the $n$-th day of the year the $4n$-th dwarf (modulo $12$) will visit each of his friends. If he finds a majority of these friends wearing their cloaks differently from him, he will reverse his own cloak. Otherwise he will continue as before.

Prove that, sooner or later, no further changes will take place.

(Friendships are mutual and do not change.)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Nani con mantelli reversibili: dimostrare che i cambiamenti finiscono per cessare *

12 nani vivono in una foresta. Ognuno ha un mantello a due lati che è blu da un lato e rosso dall’altro, e ogni nano indossa costantemente il suo mantello dal lato rosso.

In seguito alla risoluzione di Capodanno: il $n$-esimo giorno dell’anno il $4n$-esimo nano (modulo $12$) visiterà ciascuno dei suoi amici. Se trova la maggior parte di questi amici indossando i loro abiti diversi da lui, rovescerà il suo stesso abito. Altrimenti continuerà come prima.

Prove che prima o poi non ci saranno ulteriori cambiamenti.

(Le amicizie sono reciproche e non cambiano.)

src_bmo_1990-91_round2__Q02

Triangle perimeter 2 implies a²+b²+c²+2abc < 2

Prove that if the perimeter of a triangle with sides $a$, $b$, $c$ is $2$ then $a^2+b^2+c^2+2abc<2.$

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Perimetro del triangolo 2 implica a2+b2+c2+2abc < 2

Prova che se il perimetro di un triangolo con lati $a$, $b$, $c$ è $2$, allora $a^2+b^2+c^2+2abc<2.$

src_bmo_1990-91_round2__Q03

Multiples of x always contain digit 2; find smallest such N

Let $x$ be a positive real number. Prove that at least one of the numbers $x,2x,3x,\dots ,20x$ contains the digit $2$ in its decimal expansion.

Let $N$ be the smallest positive integer such that, for every positive real number $x$, at least one of the numbers $x,2x,3x,\dots ,Nx$ contains the digit $2$ in its decimal expansion. Find lower and upper bounds for $N$ and, if possible, find $N$ exactly.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Multiplici di x contengono sempre la cifra 2; trovare il più piccolo N *

$x$ sia un numero reale positivo. Prova che almeno uno dei numeri $x,2x,3x,\dots ,20x$ contiene la cifra $2$ nella sua espansione decimale.

$N$ sia il numero intero positivo più piccolo in modo tale che, per ogni numero reale positivo $x$, almeno uno dei numeri $x,2x,3x,\dots ,Nx$ contenga la cifra $2$ nella sua espansione decimale. Trova i limiti inferiori e superiori per $N$ e, se possibile, trova esattamente $N$.

src_bmo_1990-91_round2__Q04