British Mathematical Olympiad 1991-92 — Round 2

Odd prime p: unique positive integers x,y with x^2=y(y+p)

Let $p$ be an odd prime number. Prove that there are unique positive integers $x,y$ such that $x^2=y(y+p)$, and give the formulae for $x$ and $y$ in terms of $p$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Odd prime p: numeri interi positivi unici x,y con x^2=y(y+p) *

$p$ sia un numero primo impar. Prove che esistono unici integri positivi $x,y$ come $x^2=y(y+p)$, e fornisca le formule per $x$ e $y$ in termini di $p$.

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Positive reals a,b,c,d: prove double inequality for six pairwise-sum fractions

Let $a,b,c,d$ be positive real numbers. Prove that $\frac{12}{a+b+c+d}\le \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+d}+\frac{1}{c+d}\le \frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right).$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi a, b, c, d: dimostrare la doppia disuguaglianza per sei frazioni di somma pari

Lasciate che $a,b,c,d$ siano numeri reali positivi. Provare che $\frac{12}{a+b+c+d}\le \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+d}+\frac{1}{c+d}\le \frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right).$

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Triangle ABC, circumradius R with AB^2+AC^2=BC^2-R^2: find angles

The circumcircle of the triangle $ABC$ has a radius $R$ satisfying $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2-R^2.$ Prove that the angles of the triangle are uniquely determined, and state the values for the angles.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, radio circundato R con AB^2+AC^2=BC^2-R^2: angolo di ricerca

Il circoncircolo del triangolo $ABC$ ha un raggio $R$ soddisfacente $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2-R^2.$ Prove che gli angoli del triangolo sono determinati in modo unico, e indicare i valori per gli angoli.

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Dwarf visiting graph: parity of destroyed friendships all even or all odd

Dwarfish social life in the Land Under the Mountain is based on ‘visiting’ which has its own dwarfish rules. Two dwarves may visit each other only if they are acquainted, but there are three levels of friendship.

Doorstep friends may visit each other and talk for as long as they like, but must remain on the doorstep, never crossing the threshold.

Tea friends may cross each others’ threshold, and even share a cup of tea, but must never stay for supper.

Supper friends may visit each other and stay as long as they like, sharing ale, supper and a fireside chat.

Each dwarf has exactly one friend of each kind, and the community is structured so that every pair $A,B$ of dwarves is linked by a chain of acquaintances of various kinds so that $A$ knows someone, who knows someone, who knows someone, …, who knows $B$.

(i) Prove that the number of dwarves must be an even number exceeding 2, and that, corresponding to each even $n>2$, there may be such a community of $n$ dwarves.

(ii) The evil dwarves want to isolate one group of dwarves from the rest of the community. To do this they must destroy some set of friendships. Suppose that they were to succeed in this by destroying $F_d\text{ doorstep friendships},F_t\text{ tea friendships},F_s\text{ supper friendships},$ and that all of these friendships must be destroyed to isolate that group. Prove that $F_d,F_t,F_s$ would have to be either all even or all odd.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Grafi, Casework Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Grafico di visite di nani: parità di amicizie distrutte tutte pari o tutte strane

La vita sociale dei nani nella terra sotto la montagna si basa sul ‘visitare’ che ha le sue regole dwarf. Due nani possono visitarsi solo se si conoscono, ma ci sono tre livelli di amicizia.

Gli amici che si trovano alla porta possono andare a trovarsi e parlare per quanto vogliono, ma devono rimanere alla porta, non oltrepassando mai la soglia.

Gli amici del tè possono attraversare la soglia l’uno dell’altro, e persino condividere una tazza di tè, ma non devono mai rimanere per cena.

Gli amici di cena possono visitarsi e rimanere quanto vorranno, condividendo birra, cena e una chiacchierata vicino al fuoco.

Ogni nano ha esattamente un amico di ogni tipo, e la comunità è strutturata in modo che ogni coppia di nani sia legata da una catena di conoscenze di vari tipi in modo che $A$ conosca qualcuno, che conosce qualcuno, che conosce qualcuno, …, che conosce $B$.

(i) dimostrare che il numero di nani deve essere pari superiore a 2 e che, corrispondendo a ciascun pari $n>2$, può esistere una tale comunità di nani $n$.

(ii) I nani malvagi vogliono isolare un gruppo di nani dal resto della comunità. Per fare questo devono distruggere un certo insieme di amicizie. Supponiamo che abbiano avuto successo distruggendo $F_d\text{ doorstep friendships},F_t\text{ tea friendships},F_s\text{ supper friendships},$ e che tutte queste amicizie debbano essere distrutte per isolare quel gruppo. Prove che $F_d,F_t,F_s$ dovrebbe essere tutto pari o tutto impar.

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